Какое наибольшее число рёбер может быть в двудольном графе на 12 вершинах?

Чтобы ответить на данный вопрос, нам нужно понять, что такое двудольный граф и какое количество ребер между вершинами возможно.

Двудольный граф - это граф, все вершины которого можно разделить на две группы (обычно называемые долями), так что все ребра графа соединяют вершины одной доли с вершинами другой доли, но не соединяют вершины внутри одной доли.

Предположим, у нас есть двудольный граф на 12 вершинах. Пусть одна доля содержит n вершин, а другая доля содержит 12-n вершин.

Чтобы найти наибольшее количество ребер, мы можем представить на графе и выбрать наименьшую долю (n или 12-n).

Предположим, что наименьшая доля содержит n вершин.

Количество ребер между двумя долями в двудольном графе равно произведению количества вершин в каждой доле. Таким образом, количество ребер равно n * (12-n).

Нам нужно найти максимальное значение n * (12-n). Для этого мы можем использовать метод нахождения вершины экстремума: путем нахождения точки, где производная равна 0.

Для этой задачи, возьмем производную от n * (12-n) и приравняем ее к нулю:

d(n * (12-n))/dn = 0
12 - 2n = 0
2n = 12
n = 6

Таким образом, наибольшее количество ребер в двудольном графе на 12 вершинах достигается, когда одна доля содержит 6 вершин, а другая - 12-6=6 вершины.

Мы можем подставить найденное значение n в формулу для количества ребер:

n * (12-n) = 6 * (12-6) = 6 * 6 = 36

Таким образом, наибольшее количество ребер в двудольном графе на 12 вершинах равно 36.

Мы можем убедиться в правильности ответа, проверив, что изначально полученный граф удовлетворяет всем условиям двудольного графа. Например, можно построить граф с 12 вершинами, разделенными на 2 доли по 6 вершин каждая, и добавить 36 ребер, чтобы убедиться, что все они соединяют вершины одной доли с вершинами другой доли и не соединяют вершины внутри одной доли.