Как найти частные производные второго порядка функции z=arccos(x+y)

Привет! Рад быть для тебя учителем и помочь с этим вопросом о частных производных второго порядка функции z=arccos(x+y).

Чтобы найти частную производную второго порядка, мы сначала найдем частные производные первого порядка, а затем продифференцируем их снова.

Итак, у нас есть функция z=arccos(x+y).

Шаг 1: Найдем частные производные первого порядка.

Частная производная по переменной x (при дифференцировании по x будем считать y постоянной):

∂z/∂x = ∂(arccos(x+y))/∂x

Мы должны продифференцировать arccos(x+y) по x. При дифференцировании функции arccos(u), где u является функцией от x, результатом будет -1/√(1-u^2) умноженное на частную производную функции u.

Таким образом, при продифференцировании arccos(x+y) по x, получаем:

∂z/∂x = -1/√(1-(x+y)^2) * ∂(x+y)/∂x

Частная производная функции (x+y) по x равна 1.

Поэтому:

∂z/∂x = -1/√(1-(x+y)^2)

Аналогично, найдем частную производную по переменной y (при дифференцировании по y будем считать x постоянной):

∂z/∂y = ∂(arccos(x+y))/∂y

Снова используем правило дифференцирования функции arccos(u). В данном случае, получаем:

∂z/∂y = -1/√(1-(x+y)^2) * ∂(x+y)/∂y

Частная производная функции (x+y) по y равна 1.

Таким образом:

∂z/∂y = -1/√(1-(x+y)^2)

Шаг 2: Найдем частные производные второго порядка.

Теперь, чтобы найти частные производные второго порядка, мы продифференцируем полученные выражения ∂z/∂x и ∂z/∂y по соответствующим переменным.

Для частной производной второго порядка по x и y, обозначим их как ∂^2z/∂x∂y и ∂^2z/∂y∂x.

∂^2z/∂x∂y = ∂(-1/√(1-(x+y)^2))/∂y

Мы продифференцировали ∂z/∂x по y. Заметь, что ∂(1-(x+y)^2)/∂y = 0, так как (x+y)^2 не зависит от y.

Таким образом, ∂^2z/∂x∂y = 0.

Аналогично, найдем ∂^2z/∂y∂x:

∂^2z/∂y∂x = ∂(-1/√(1-(x+y)^2))/∂x

Мы продифференцировали ∂z/∂y по x. Заметь, что ∂(1-(x+y)^2)/∂x = 0, так как (x+y)^2 не зависит от x.

Таким образом, ∂^2z/∂y∂x = 0.

В итоге, частные производные второго порядка этой функции равны:

∂^2z/∂x∂y = 0

∂^2z/∂y∂x = 0

Это объясняет, как найти частные производные второго порядка функции z=arccos(x+y).

Надеюсь, это поможет тебе лучше понять процесс нахождения частных производных второго порядка. Если у тебя есть еще вопросы, не стесняйся задавать!