Как можно Решите задачи

Найдите координаты векторов 2а-b если а(-4;1;5), b (3;-5;-1)

Выясните, при каких значения s и t, вектор а(3;s;4) и b(t;1;-8) - коллинеарны.

Найдите координаты точки K, если А (0;3;4); B(1;4;4), а точка K - середина AB.

Найдите секулярное произведение векторов a(-1;3;2) и b(4;5;0).

Вычислите угол между векторами MN и KP

если M(3;-2;4), N (4;-1;2), K(6;-3;2), P(7;-3;1).

Задача 1: Найдите координаты векторов 2а-b если а(-4;1;5), b (3;-5;-1). Для решения этой задачи умножим каждую координату вектора а на 2 и вычтем из полученного результата каждую координату вектора b. 2а = 2 * (-4;1;5) = (-8;2;10) 2а - b = (-8;2;10) - (3;-5;-1) = (-8-3; 2-(-5); 10-(-1)) = (-11; 7; 11) Таким образом, координаты вектора 2а-b равны (-11; 7; 11). Задача 2: Выясните, при каких значениях s и t, вектор а(3;s;4) и b(t;1;-8) являются коллинеарными. Два вектора коллинеарны, если они пропорциональны друг другу. То есть, если каждая координата вектора а можно выразить через координаты вектора b умноженные на одно и то же число, то вектора коллинеарны. 3 = t * k s = 1 * k 4 = (-8) * k Решим систему уравнений: 3 = t * k s = k 4 = -8k Из первого уравнения получаем, что k = 3/t Подставляем это значение во второе уравнение: s = 3/t Теперь подставим k в третье уравнение: 4 = -8 * (3/t) Преобразуем это уравнение: 4 = -24/t 4t = -24 t = -6 Теперь, подставим найденное значение t во второе уравнение: s = 3/(-6) s = -1/2 Таким образом, векторы а(3;-1/2;4) и b(-6;1;-8) будут коллинеарными при значениях s = -1/2 и t = -6. Задача 3: Найдите координаты точки K, если А (0;3;4); B(1;4;4), а точка K - середина AB. Чтобы найти середину отрезка, нужно просуммировать координаты точек A и B и разделить полученную сумму на 2. Координаты точки K будут равны средним значениям соответствующих координат точек A и B: K = ( (0+1)/2 ; (3+4)/2 ; (4+4)/2 ) = ( 1/2 ; 7/2 ; 8/2 ) = ( 1/2 ; 7/2 ; 4 ) Таким образом, координаты точки K равны ( 1/2 ; 7/2 ; 4 ). Задача 4: Найдите скалярное произведение векторов а(-1;3;2) и b(4;5;0). Скалярное произведение векторов равно сумме произведений соответствующих координат векторов. Скалярное произведение a и b: а*b = (-1*4) + (3*5) + (2*0) = -4 + 15 + 0 = 11 Таким образом, скалярное произведение векторов а и b равно 11. Задача 5: Вычислите угол между векторами MN и KP, если M(3;-2;4), N (4;-1;2), K(6;-3;2), P(7;-3;1). Угол между векторами можно вычислить по формуле: cos(θ) = (MN * KP) / (|MN| * |KP|) Первым шагом рассчитаем векторы MN и KP: MN = N - M = (4;-1;2) - (3;-2;4) = (4-3; -1-(-2); 2-4) = (1;1;-2) KP = P - K = (7;-3;1) - (6;-3;2) = (7-6; -3-(-3); 1-2) = (1;0;-1) Скалярное произведение MN и KP: MN * KP = (1*1) + (1*0) + (-2*-1) = 1 + 0 + 2 = 3 Теперь рассчитаем длины векторов MN и KP: |MN| = sqrt(1^2 + 1^2 + (-2)^2) = sqrt(1 + 1 + 4) = sqrt(6) |KP| = sqrt(1^2 + 0^2 + (-1)^2) = sqrt(1 + 0 + 1) = sqrt(2) Подставим полученные значения в формулу для вычисления cos(θ): cos(θ) = 3 / (sqrt(6) * sqrt(2)) Упростим выражение: cos(θ) = 3 / (sqrt(12)) Таким образом, угол θ между векторами MN и KP вычисляется как: θ = acos(3 / (sqrt(12))) Но для получения конкретного значения угла нужно использовать калькулятор или таблицы значений тригонометрических функций. В итоге, угол θ вычисляется как acos(0.866) примерно равный 30.96 градусов (округлим до двух десятичных знаков).