Как изменится определитель если из его первой строки вычесть третью умноженную на три?​

Для того, чтобы понять, как изменится определитель, нам нужно знать, что такое определитель и как его вычислять.

Определитель (обозначается как det) - это число, которое вычисляется для квадратной матрицы. Определитель позволяет определить некоторые свойства матрицы, например, обратима ли она.

Определитель можно вычислить различными способами, но одним из самых простых и понятных способов является метод разложения определителя по строке (или столбцу). В нашем случае, нам нужно вычесть третью строку умноженную на 3 из первой строки матрицы.

Представим, что у нас есть матрица M размера n x n:

M = | a11 a12 a13 ... a1n |
| a21 a22 a23 ... a2n |
| a31 a32 a33 ... a3n |
| ... ... ... ... ... |
| an1 an2 an3 ... ann |

Тогда для нахождения определителя этой матрицы, мы можем использовать следующую формулу:

det(M) = a11C11 - a12C12 + a13C13 - ... + (-1)^(1+n)a1nC1n,

где Cij - это дополнительный минор элемента aij, а (-1)^(1+n) - это знаковый множитель, определяющийся по формуле (-1)^(i+j).

Используя данную формулу, мы можем вычислить определитель исходной матрицы и определитель матрицы, полученной после вычитания третьей строки, умноженной на 3, из первой строки.

Пусть для исходной матрицы M определитель равен det(M), а для новой матрицы после проведенной операции определитель будет равен det(M').

Тогда по формуле разложения определителя по первой строке, мы можем записать следующее:

det(M) = a11C11 - a12C12 + a13C13 - ... + (-1)^(1+n)a1nC1n,

det(M') = (a11 - 3a31)C11 - (a12 - 3a32)C12 + (a13 - 3a33)C13 - ... + (-1)^(1+n)(a1n - 3an3)C1n.

Поскольку мы вычитаем третью строку, умноженную на 3, из первой строки, то все элементы первой строки меняются, кроме элементов, соответствующих третьей строке. То есть, a11 станет (a11 - 3a31), a12 станет (a12 - 3a32), и так далее. При этом, дополнительные миноры (Cij) остаются неизменными, так как они зависят только от исходной матрицы M.

Итак, определитель новой матрицы будет равен:

det(M') = (a11 - 3a31)C11 - (a12 - 3a32)C12 + (a13 - 3a33)C13 - ... + (-1)^(1+n)(a1n - 3an3)C1n.

Таким образом, ответ на вопрос о том, как изменится определитель в результате данной операции, заключается в выражении выше. Мы просто заменяем элементы первой строки матрицы на их разности с третьей строкой, умноженной на 3, и вычисляем определитель новой матрицы по формуле разложения определителя по первой строке.