Как доказать что lim(arcsinx/x)=1 ? ?

ответ: утверждение доказано.

Пошаговое объяснение:

Пусть x=sin(t), тогда arcsin(x)=arcsin[sin(t)]=t и при x⇒0 t⇒0. Поэтому lim(x⇒0)arcsin(x)/x=lim(t⇒0) t/sin(t)=1/lim(t⇒0) sin(t)/t=1/1=1.

с использованием правила Лопиталя. Так как [arcsin(x)]'=1/√(1-x²), а x'=1, то lim(x⇒0) arcsin(x)/x=lim(x⇒0) 1/√(1-x²)=1/1=1.