Известны координаты в прямоугольной системе координат трех точек , являющихся вершинами треугольника. Изобразить треугольник в этой прямоугольной системе координат и найти: 3.1 координаты векторов , и их длины;
3.2 скалярное произведение векторов , и угол между векторами , ;
3.3 векторное произведение векторов , и площадь треугольника ;
3.4 значение параметра , при котором векторы и будут коллинеарны;
3.5 координаты точки , делящей отрезок в отношении ;
3.6 каноническое уравнение стороны ;
3.7 уравнение с угловым коэффициентом и угловой коэффициент прямой, проходящей через точку параллельно прямой ;
A=(1;0), B=(-1;4), C=(9;5)

Для начала, давайте начнем с изображения треугольника в прямоугольной системе координат. Даны координаты трех вершин треугольника A=(1;0), B=(-1;4), C=(9;5).

1. Изображение треугольника в прямоугольной системе координат:
- На графике координатную плоскость мы можем нарисовать оси координат X и Y, которые пересекаются в начале системы координат (0;0).
- Затем, используя данные координат, мы можем поставить точки A, B и C на графике, соответственно, с координатами (1;0), (-1;4) и (9;5).
- Взаимосвязать эти точки линиями, чтобы образовался треугольник ABC.

Теперь перейдем к каждому из заданий:

3.1 Координаты векторов и и их длины:
- Для нахождения координат вектора AB, нужно вычесть координаты начальной точки А из координат конечной точки B.
Вектор AB: (-1 - 1; 4 - 0) = (-2; 4)
- Для нахождения координат вектора AC, нужно вычесть координаты начальной точки А из координат конечной точки C.
Вектор AC: (9 - 1; 5 - 0) = (8; 5)
- Для нахождения длины вектора, используем формулу длины вектора: |AB| = квадратный корень из суммы квадратов его координат.
Длина вектора AB: |AB| = √((-2)^2 + 4^2) = √(4 + 16) = √20
Длина вектора AC: |AC| = √(8^2 + 5^2) = √(64 + 25) = √89

3.2 Скалярное произведение векторов и угол между векторами:
- Для нахождения скалярного произведения векторов AB и AC, нужно умножить соответствующие координаты этих векторов и сложить результаты.
Скалярное произведение AB и AC: AB·AC = (-2 * 8) + (4 * 5) = -16 + 20 = 4
- Для нахождения угла α между векторами AB и AC, используем формулу: cos(α) = (AB·AC) / (|AB| * |AC|)
Угол α: cos(α) = 4 / (√20 * √89)

3.3 Векторное произведение векторов и площадь треугольника:
- Для нахождения векторного произведения AB и AC, используем правило определителя.
Векторное произведение AB и AC: AB x AC = (отрицательная определитель матрицы, состоящей из координат векторов AB и AC)
AB x AC = (2 * 5) - (4 * 8) = 10 - 32 = -22
- Для нахождения площади треугольника ABC, используем формулу: S = 0.5 * |AB x AC|
Площадь треугольника ABC: S = 0.5 * |-22|

3.4 Значение параметра, при котором векторы AB и AC будут коллинеарны:
- Два вектора коллинеарны, когда они параллельны и имеют одинаковое направление или противоположное, но отличное от нуля.
AB и AC коллинеарны, когда векторное произведение AB x AC равно нулю.
(-2 * 5) - (4 * 8) = -22 = 0
Значит, векторы AB и AC коллинеарны.

3.5 Координаты точки, делящей отрезок в отношении :
- Пусть точка D(x; y) делит отрезок BC в отношении : .
- Используя формулу разделения отрезка в данном отношении, мы можем записать:
x = ( * x_2 + * x_1) / (1 + )
y = ( * y_2 + * y_1) / (1 + )
- Подставляя значения координат точек B, C и известное отношение, мы можем найти координаты точки D.

3.6 Каноническое уравнение стороны :
- Уравнение прямой, проходящей через точки A и B, может быть записано в канонической форме y = mx + b, где m - угловой коэффициент, b - свободный член.
- Для нахождения углового коэффициента m, используем формулу: m = (y_2 - y_1) / (x_2 - x_1).
- Затем, используя уравнение прямой с угловым коэффициентом, мы можем записать уравнение стороны AB.

3.7 Уравнение с угловым коэффициентом и угловой коэффициент прямой, проходящей через точку параллельно прямой :
- Прямая, параллельная прямой AB, будет иметь тот же угловой коэффициент m и проходить через заданную точку C.
- Используем уравнение с угловым коэффициентом и точкой C, чтобы записать уравнение этой прямой.