Из чисел от 1 до 37 выбрали 11 каких-то чисел. докажите, что из этих 11 обязательно найдутся такие 4, что сумма двух из них равно сумме двух оставшихся

Пусть нам удалось выбрать 11 чисел так, чтобы не нашлось 4 числа с этим свойством.

Рассмотрим попарные положительные разности всех 11 чисел. Каждая из них не меньше 1 и не больше 36 (всего 36 вариантов), а разностей 11 * 10 / 2 = 55, поэтому некоторые разности повторяются.

Если какие-то две повторяющие разности имеют вид a - b = c - d, где b не равно c, то a + d = b + c, что противоречит предположению.

Значит, все повторяющиеся разности имеют вид a - b = b - c, и их не меньше 55 - 36 = 19. Поскольку всего чисел 11 < 19, то найдутся два равенства a1 - b = b - c1, a2 - b = b - c2, все числа a1, a2, c1, c2 в которых различны. Но в этом случае a1 + c1 = a2 + c2 = 2b, противоречие.

Значит, предположение неверно, и 4 числа с нужным свойством всегда найдутся.