Иван царевич задумал натуральное число, умножил его на 7, зачеркнул последнюю цифру результата, умножил полученное число на 9, зачеркнул предпоследнюю цифру результата, умножил полученное число на 3, зачеркнул последнюю цифру результата и получил 35.

Пойдем с конца:

число, полученное на предпоследнем шаге делится на 3, значит, последней цифрой могла быть либо 1, либо 4, либо 7

1) если 1, то было число 351 : 3 = 117
на предыдущем ходу число делится на 9, то могли быть: 0 или 9
1а) если 0, то было число 1107 : 9 = 123, теперь найдем число, которое делится на 7, их два: 1232 и 1239, значит первоначально могли быть числа: 176 и 177

1б) если 9, то было число 1197 : 9 = 133, теперь найдем число, которое делится на 7, их два: 1330 и 1337, значит до этого были числа: 190 и 191

2) если 4, то было число 354 : 3 = 118
на предыдущем ходу число делится на 9, то было число 1188, а до этого 1188 : 9 = 132
теперь найдем число, которое делится на 7, это число 1323, значит было число 189

3) если 7, то было число 357 : 3 = 119
на предыдущем ходу число делится на 9, то было число 1179, а до этого 1179 : 9 = 131
теперь найдем число, которое делится на 7, это число 1316, значит было число 188

ответ: всего 6 чисел: 176; 177; 188; 189; 190; 191