Итоговый тест

Прямые и плоскости в Укажите ошибочное утверждение:
Плоскость и притом только одну можно провести через…

1) …две пересекающиеся прямые.

2) …две параллельные прямые.

3) …две скрещивающиеся прямые.

4)…прямую и не лежащую на ней точку.

Дан куб АВСDА1В1С1D1. Как расположены прямые BD и AD1 по отношению друг к другу?

1) параллельно

2) скрещиваются

3) пересекаются

4) затрудняюсь ответить

3. В даны две параллельные прямые a и b. Сколько существует плоскостей, проходящих через прямую a и параллельных прямой b?

1) 1 или бесконечно много

2) 0

3) 1

4) бесконечно много

4. Треугольник АВС и трапеция АВКР не лежат в одной плоскости. MN – средняя линия треугольника АВС, MN=PK. Как расположены прямые MN и PK?

1) скрещиваются

2) пересекаются

3) параллельны или пересекаются

4) параллельны

5. Из приведенных ниже утверждений укажите верное свойство параллельного проектирования.

1) при параллельном проектировании сохраняется величина углов.

2) при параллельном проектировании сохраняется длина отрезков.

3) при параллельном проектировании параллельность прямых не сохраняется.

4) при параллельном проектировании сохраняется отношение отрезков одной прямой.

6. В даны прямая a и точка M. Сколько существует плоскостей, проходящих через M и перпендикулярных прямой a?

1) бесконечно много.

2) 1

3) 0

4) 1 или бесконечно много

7. Угол между перпендикуляром и наклонной равен 60 градусов, длина перпендикуляра равна 20 см. Чему равна длина наклонной?

1) 20 см

2) 10 см

3) 25 см

4) 40 см

8. Даны прямоугольник АВСD и точка Е вне его плоскости. Прямая АЕ перпендикулярна прямым АВ и АD. Найдите длину отрезка ЕС, если АВ=4 см, АD=3 см, АЕ= 12 см.

1) 5 см

2) 13 см

3) 10 см

4) 12 см

9. Сколько общих точек имеют две пересекающиеся плоскости?

1) только две

2) ни одной

3) только одну

4) бесконечное множество

10. Прямые а и b лежат в одной плоскости. Прямые а и b не могут…

1)…совпадать

2)…быть параллельными

3)…пересекаться

4)…скрещиваться

Задачи 7 и 8 решить подробно

1) Ответ: Ответ 3) ...две скрещивающиеся прямые. Это неправильное утверждение, потому что плоскость может быть проведена через любые две прямые.

Обоснование: Любые две прямые в трехмерном пространстве определяют плоскость, поэтому ни одно из утверждений не является ошибочным.

2) Ответ: Ответ 3) пересекаются. Прямая BD и прямая AD1 пересекаются.

Обоснование: Расположение прямых BD и AD1 зависит от взаимного положения граней куба АВСDА1В1С1D1. Если они находятся на разных гранях, тогда прямые BD и AD1 пересекаются. Если же они находятся на одной грани, тогда прямые BD и AD1 параллельны друг другу.

3) Ответ: Ответ 4) бесконечно много. Через прямую a можно провести бесконечно много плоскостей, параллельных прямой b.

Обоснование: В трехмерном пространстве одна прямая и параллельно ей проведенная прямая определяют бесконечно много плоскостей, параллельных прямой b.

4) Ответ: Ответ 3) параллельны или пересекаются. Прямые MN и PK могут быть параллельны или пересекаются.

Обоснование: Треугольник АВС и трапеция АВКР не лежат в одной плоскости, поэтому прямые MN и PK могут иметь разное взаимное положение. Они могут быть параллельными, если треугольник АВС и трапеция АВКР лежат в плоскости, параллельной плоскости, содержащей прямые MN и PK. Они могут пересекаться, если треугольник АВС и трапеция АВКР лежат в разных плоскостях.

5) Ответ: Ответ 2) при параллельном проектировании сохраняется длина отрезков.

Обоснование: При параллельном проектировании длины отрезков сохраняются, но углы и параллельность прямых не сохраняются.

6) Ответ: Ответ 2) 1. Через точку М можно провести только одну плоскость, перпендикулярную прямой a.

Обоснование: Плоскость, проходящая через точку M и перпендикулярная прямой a, определяется однозначно.

7) Ответ: Ответ 3) 25 см.

Обоснование: Угол между перпендикуляром и наклонной равен 60 градусов, что означает, что это прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора, в прямоугольном треугольнике с катетами 20 см и c, гипотенуза равна c = sqrt(20^2 + 10^2) = sqrt(400 + 100) = sqrt(500) = 25 см.

8) Ответ: Ответ 2) 13 см.

Обоснование: По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике АЕС с катетами 4 см и 3 см, гипотенуза равна EC = sqrt(4^2 + 3^2) = sqrt(16 + 9) = sqrt(25) = 5 см. Затем, используя подобные треугольники АЕС и АЕК, можно найти соотношение длин отрезков EC и EK: EC/AE = EK/AK, где AE = 12 см, AK = 4 см. Таким образом, EC/12 = 5/4, отсюда EC = (5/4)*12 = 15 см.

9) Ответ: Ответ 4) бесконечное множество.

Обоснование: Если две плоскости пересекаются, то у них есть бесконечное множество общих точек.

10) Ответ: Ответ 1)…совпадать.

Обоснование: Две прямые не могут совпадать, так как совпадающие прямые имеют бесконечно много общих точек.