Исследуйте на экстремум следующие функции

f(x)=x^2-x

Находим производную. она равна 2х-1=0 критическая точка одна. она равна 1/2

1/2

-                      

при переходе через критич. точку производная меняет знак с минуса на плюс х=1/2= точка минимума. минимум равен 1/4-1/2=-1/4

Чтобы исследовать функцию на экстремумы, нам нужно найти ее производную и приравнять ее к нулю. Производная функции f(x)=x^2-x будет равна f'(x) = 2x-1.

Шаг 1: Найдем все значения x, при которых f'(x) равна нулю.
f'(x) = 0
2x-1 = 0
2x = 1
x = 1/2

Шаг 2: Подставим найденное значение x обратно в исходную функцию, чтобы определить значение функции в этой точке.
f(x) = x^2 - x
f(1/2) = (1/2)^2 - 1/2
f(1/2) = 1/4 - 1/2
f(1/2) = -1/4

Таким образом, экстремум функции f(x)=x^2-x находится в точке x=1/2, где функция достигает минимального значения f(1/2)=-1/4.

Для полной картины экстремумов, необходимо также рассмотреть поведение функции на бесконечностях. При x→-∞ и x→+∞ функция будет стремиться к плюс бесконечности, так как квадратный член x^2 будет доминировать над линейным членом -x. Это может быть проиллюстрировано графически или с помощью заполнения таблицы значений при различных значениях х.

Таким образом, минимальное значение функции f(x)=x^2-x равно -1/4 и достигается при x=1/2. Для проверки можно также построить график функции и увидеть его "впадину" в этой точке.