Исследуйте функцию с производной и постройте ее график f(x)=2+x^2-1/3×x^3

ДАНО: Y=  - 1/3*x³ + x² + 2

ИССЛЕДОВАТЬ.

1.Область определения D(x) - Х∈(-∞;+∞) - непрерывная.  

2. Пересечение с осью Х. Y=0 при х1 ≈ 3.45. (один)  

Положительна - X∈(-∞;x1), отрицательна - X∈(x1;+∞).

3. Пересечение с осью У.  У(0) = 2.  

4. Поведение на бесконечности. limY(-∞) = + ∞.  limY(+∞) = -∞  

5. Исследование на чётность. Y(-x) = 1/3*x³+ x²+2 ≠ - Y(x).

Функция ни четная, ни нечётная.  

6. Производная функции. Y'(x)= -x² +2*х = -x*(x-2).  

Корни при x1 = 0 и х2 = 2. Схема знаков производной.

(-∞)__(>0)__(0)___(<0)___(2)__(>0)_____(+∞)

7. Локальные экстремумы.  

Максимум Ymax(2)=  3 1/3, минимум – Ymin(0)= -2.  

8. Интервалы монотонности.

Возрастает - Х∈[0;2], убывает = Х∈(-∞;0]∪[2;+∞).  

8. Вторая производная - Y"(x) = -2*x + 2 = -2*(x - 1)=0.  

Корень производной - точка перегиба x = 1.  

9. Выпуклая “горка» Х∈(1;+∞), Вогнутая – «ложка» Х∈(-∞;1).  

10. График в приложении.