Исследуйте функцию с производной и постройте еë график
y = 6x2 - X - 5​

х=5/11(график на фото)

Пошаговое объяснение:

график на фото

Для того чтобы исследовать функцию и построить ее график, нам понадобится рассмотреть несколько основных шагов.

Шаг 1: Найдем производную функции

Для этого возьмем производную каждого члена функции по отдельности. Найдем производную каждого члена функции и запишем результат:

y' = d/dx [6x^2 - x - 5]
= 12x - 1

Обоснование:
Для нахождения производной квадратичной функции, мы используем следующие правила дифференцирования:
- Если f(x) = x^n, где n - любое число, то f'(x) = nx^(n-1)
- Если f(x) - константа, то f'(x) = 0
- Если f(x) = x, то f'(x) = 1

Применив эти правила к заданной функции, мы получили производную функции y = 6x^2 - x - 5.

Шаг 2: Найдем критические точки производной

Чтобы найти критические точки производной, решим уравнение y' = 0:

12x - 1 = 0

Решив это уравнение, найдем значение x:

12x = 1
x = 1/12

Таким образом, критическая точка производной находится при x = 1/12.

Шаг 3: Определим сегменты убывания и возрастания функции

Для определения сегментов убывания и возрастания функции, нам нужно проанализировать знак производной.

Мы знаем, что производная при x=1/12 равна 0. Это означает, что функция может изменять свое направление перед этой точкой.

Подставим несколько значений x в производную функцию и проанализируем знак:

- Если x < 1/12, то 12x - 1 < 0, y' < 0. Значит, функция убывает на этом сегменте.
- Если x > 1/12, то 12x - 1 > 0, y' > 0. Значит, функция возрастает на этом сегменте.

Таким образом, функция y = 6x^2 - x - 5 убывает перед x = 1/12 и возрастает после x = 1/12.

Шаг 4: Найдем точку перегиба

Для нахождения точки перегиба производной, решим уравнение y'' = 0:

y'' = d^2/dx^2 [12x - 1]
= 12

Обоснование:
Чтобы найти вторую производную, мы сначала находим производную за первым дифференцированием, а затем находим производную этого результата.

Таким образом, мы получили, что вторая производная равна 12.

Так как вторая производная постоянна (не зависит от x), то это означает, что у функции нет точки перегиба.

Шаг 5: Найдем точки пересечения с осями координат

Чтобы найти точки пересечения с осями координат, решим уравнение y = 6x^2 - x - 5 = 0:

6x^2 - x - 5 = 0

Мы можем решать это уравнение, используя факторизацию, полный квадрат или квадратное уравнение. Полный квадрат является наиболее удобным методом в данном случае.

6x^2 - x - 5 = 0
(2x - 5)(3x + 1) = 0

Таким образом, уравнение разбивается на два уравнения:

2x-5 = 0
x = 5/2

3x+1 = 0
x = -1/3

Мы получили две точки пересечения с осью x: x = 5/2 и x = -1/3.

Теперь мы можем построить график функции y = 6x^2 - x - 5, используя полученные данные и аппроксимацию для других точек.

График такой функции будет выглядеть следующим образом:
- Проходит через точку пересечения с осью x при x = 5/2
- Проходит через точку пересечения с осью x при x = -1/3
- Убывает перед x = 1/12
- Возрастает после x = 1/12

Важно отметить, что график возвращается к оси x в обеих точках пересечения. Это означает, что функция снова пересекает ось x в этих точках.