Исследуйте функцию на монотонность и экстремум
а) у=х^3/3-2х^2-5х-6
б)у=2/х-5

Пошаговое объяснение:

Задача а)

y = 1/3*x³ - 2*x² - 5*x - 6 - функция.

1) Область определения функции - ООФ - монотонность.

Непрерывная, гладкая.

D(x) = (-∞;+∞) - ответ.

2) Поиск экстремума по первой производной.

y'(x) = x² - 4*x - 5 = 0 - решаем квадратное уравнение

x1 = - 1,   x2 = 5 - точки экстремумов.

3) Локальные экстремумы.

Ymin(5) = - 39 1/3,    Ymax(-1) = - 3 1/3 - ответ.

Рисунок с графиком функции - в приложении.

Задача б)

Дано: y = 2/(x-5).  

(Текст решения с излишествами - полное исследование)

Исследование:

1. Область определения: D(y)= X≠ -5, X∈(-∞;-5)∪(-5;+∞). Не допускаем деления на 0 в знаменателе.

2.Поведение в точке разрыва. LimY(-5-)= -∞, LimY(-5+)= +∞. Вертикальная асимптота - х = -5.  

Неустранимый разрыв II-го рода.

3. Поведение на бесконечности - наклонная асимптота.  

k = lim(+∞)Y(х)/x = 2/(x²--5*х) = 0 - коэффициент наклона.  y = 0 - горизонтальная асимптота.

4. Нули функции, пересечение с осью ОХ. Y(x) = 0 - нет.

5. Пересечение с осью ОУ. Y(0)= -2/-5 = 0,4

6. Интервалы знакопостоянства.  

Отрицательна: Y(x)<0 - X∈(-∞;-5). Положительна: Y>0 - X∈(-5;+∞;)

7. Проверка на чётность. Есть сдвиг по оси ОХ - нет симметрии ни осевой ни центральной.  

Функция общего вида - ни чётная, ни нечётная: Y(-x) ≠ -Y(x) , Y(-x)≠ Y(x).

8. Поиск экстремумов по первой производной.    

y'(x) = - 2/(x-5)² = 0. Корней - нет.

9. Локальные максимумы  - нет.

10. Интервалы монотонности.  

Убывает: X∈(-∞;-5)∪(-5;+∞) - везде, где существует.

11. Поиск перегибов по второй производной.  

y''(x) = 4/(x-5)³ = 0.

Точки перегиба нет, кроме  точки разрыва при Х = 0.    

12. Выпуклая - 'горка' - X∈(-∞;-5). Вогнутая - 'ложка'- X∈(-5;+∞;).

13. Область значений. E(y) - y∈(-∞;+∞).  

14. График функции на рисунке в приложении.