Исследуйте функцию и постройте график f(x)=3x-x^3

ДАНО

Y(x) = - x³ + 3x

1.Область определения D(x) - Х∈(-∞;+∞) - непрерывная. 

2. Пересечение с осью Х. Y=0 при х = -√3, 0, √3. 

Положительна - X∈(-∞;-√3)∪(0;√3), отрицательна - X∈(-√3;0)∪(√3;+∞).

3. Пересечение с осью У.  У(0) = 0. 

4. Поведение на бесконечности.limY(-∞) = + ∞  limY(+∞) = -∞ 

5. Исследование на чётность.Y(-x) = x³-3*x = - Y(x).

Функция нечётная. 

6. Производная функции.Y'(x)= -3*x² +3 = -3*(x²-1) = -3*(x-1)(x+1). 

Корни при Х= +/- 1. Схема знаков производной.

(-∞)__(<0)__(-1)___(>0)___(1)__(<0)_____(+∞)

7. Локальные экстремумы. 

Максимум Ymax(1)= 2, минимум – Ymin(-1)=2. 

8. Интервалы возрастания и убывания. 

Возрастает - Х∈[-1;1], убывает = Х∈(-∞;-1]∪ (1;+∞). 

8. Вторая производная - Y"(x) = -6*x=0. 

Корень производной - точка перегиба Y"(x)= 0. 

9. Выпуклая “горка» Х∈(0;+∞), Вогнутая – «ложка» Х∈(-∞;0). 

10. График в приложении.