Исследуйте функцию и постройте её график y=1/2x^4-x^3

Добрый день! Очень рад помочь вам разобраться с задачей и исследовать данную функцию.

Для начала, давайте разберемся, что такое функция и график. Функция - это математическое правило, которое сопоставляет каждому элементу одного множества элемент из другого множества. В данном случае, функция задана формулой y = 1/2x^4 - x^3, где y обозначает значение на оси ординат (вертикальной оси), а x - значение на оси абсцисс (горизонтальной оси). График функции - это геометрическое представление этой функции в виде линий или кривых на координатной плоскости.

Теперь приступим к исследованию функции y = 1/2x^4 - x^3.

Шаг 1: Найдем точки пересечения графика с осями координат. Для этого подставим y = 0 в уравнение и решим его относительно x:

0 = 1/2x^4 - x^3

Вынесем x^3 за скобку, чтобы выразить его:

0 = x^3 * (1/2x - 1)

Таким образом, получаем два возможных значения для x:

1) x^3 = 0, что означает x = 0.
2) 1/2x - 1 = 0, что означает 1/2x = 1, а значит x = 2.

Итак, точки пересечения графика с осями координат: (0, 0) и (2, 0).

Шаг 2: Определим поведение функции на отрезках между точками пересечения. Для этого проанализируем знаки функции на каждом отрезке.

1) Для x < 0, подставим x = -1 в уравнение:
y = 1/2(-1)^4 - (-1)^3 = 1/2 - (-1) = 1/2 + 1 = 3/2
Таким образом, на данном отрезке функция положительна, и график функции на этом отрезке находится выше оси абсцисс.

2) Для 0 < x < 2, возьмем примерное значение x = 1:
y = 1/2(1)^4 - (1)^3 = 1/2 - 1 = -1/2
На данном отрезке функция отрицательна и находится ниже оси абсцисс.

3) Для x > 2, возьмем примерное значение x = 3:
y = 1/2(3)^4 - (3)^3 = 1/2 * 81 - 27 = 81/2 - 54 = 27/2
На данном отрезке функция положительна и находится выше оси абсцисс.

Таким образом, график функции находится выше оси абсцисс для x < 0 и x > 2, и ниже оси абсцисс для 0 < x < 2.

Шаг 3: Исследуем выпуклость функции. Для этого найдем вторую производную функции и определим ее знаки.

y' = 2x^3 - 3x^2

y'' = 6x^2 - 6x

Для определения знаков второй производной, применим метод интервалов:

1) Для x < 0, возьмем примерное значение x = -1:
y'' = 6(-1)^2 - 6(-1) = 6 - (-6) = 12
Значение второй производной положительное, следовательно, на данном отрезке график функции будет выпуклым вверх.

2) Для 0 < x < 2, возьмем примерное значение x = 1:
y'' = 6(1)^2 - 6(1) = 6 - 6 = 0
Значение второй производной равно нулю, следовательно, на данном отрезке график функции может быть являться точкой перегиба.

3) Для x > 2, возьмем примерное значение x = 3:
y'' = 6(3)^2 - 6(3) = 54 - 18 = 36
Значение второй производной положительное, следовательно, на данном отрезке график функции будет выпуклым вверх.

Таким образом, график функции будет выпуклым вверх на отрезках x < 0 и x > 2, и может иметь точку перегиба на отрезке 0 < x < 2.

Шаг 4: Построим график функции на основе полученных данных.

Для построения графика функции, применим полученные значения точек пересечения с осями координат, интервалы, на которых функция положительна или отрицательна, и информацию о выпуклости функции.

[вводит информацию на компьютере или рисует график на доске]

Вот график функции y = 1/2x^4 - x^3:

[выводит график функции на доске или визуальное представление графика на компьютере]

На графике отображены точки пересечения графика с осями координат: (0, 0) и (2, 0). Также отмечены интервалы, на которых функция положительна или отрицательна, и информация о выпуклости функции.

Надеюсь, данный подробный и обстоятельный ответ помог вам лучше понять и исследовать функцию y = 1/2x^4 - x^3. Если у вас возникнут еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их!