Исследует функцию f(x)=x^3-3x и постройте ее график

У=х^3-3x
Нули функции: х=0; х=+-sqrt(3) их нужно отметить на графике
y'=3x^2-3 - производная функция
х^2=1; x=-+1 - точки макс и мин

Хорошо! Давайте начнем с исследования функции f(x) = x^3 - 3x и построим ее график.

Шаг 1: Определение области определения функции.
Область определения - это множество значений x, для которых функция f(x) определена. Для данной функции, мы можем принять, что область определения - это все действительные числа, так как x^3 и 3x являются определенными выражениями для любого действительного числа.

Шаг 2: Найдем точки пересечения функции с осями координат.
Для этого мы можем приравнять f(x) к нулю и решить уравнение x^3 - 3x = 0.

x^3 - 3x = 0
x(x^2 - 3) = 0

Отсюда видно, что точки пересечения с осями координат равны x = 0 и x = ±√3. То есть, функция пересекает ось абсцисс в точке (0, 0) и ось ординат в точках (√3, 0) и (-√3, 0).

Шаг 3: Анализ знаков и монотонности функции.
Чтобы понять, как меняется функция на интервалах между точками пересечения с осями координат, мы можем построить таблицу знаков исходного уравнения f(x).

x | -∞ | -√3 | 0 | √3 | +∞
---------------------------------------------------
x^3 - 3x | - | + | - | + | +

Из таблицы знаков можно увидеть, что функция f(x) положительна на интервалах (-∞, -√3) и (0, √3), а отрицательна на интервалах (-√3, 0) и (√3, +∞). Это поможет нам построить график функции.

Шаг 4: Построение графика функции.
Теперь, имея информацию о точках пересечения с осями координат и о знаке функции на интервалах между ними, мы можем построить график функции f(x).

1) Начнем с точки пересечения с осью ординат - (0, 0).

2) Затем, проведем график слева от точки пересечения (-√3, 0). Поскольку функция f(x) отрицательна на интервале (-√3, 0), график будет расположен ниже оси абсцисс.

3) После этого, проведем график на интервале (0, √3), который находится выше оси абсцисс.

4) Затем, проведем график справа от точки пересечения (√3, 0). Поскольку функция f(x) снова становится отрицательной на интервале (√3, +∞), график будет расположен ниже оси абсцисс.

5) Наконец, соединим все полученные точки гладкой кривой линией.

Вот и готов график функции f(x)=x^3-3x. Я надеюсь, что мой ответ был подробным и понятным для вас. Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать!