. Исследовать системы линейных уравнений, зависящих от параметра λ. Для совместных систем найти общее и одно
частное решения.

На рисунке

Пошаговое объяснение:

Не обнщаю что правильно, перепроверяйте

Для начала давай разберемся, что такое система линейных уравнений. Система линейных уравнений - это набор уравнений, которые связаны между собой. Каждое уравнение состоит из переменных и коэффициентов, а наша задача - найти значения переменных, при которых все уравнения системы будут выполняться одновременно.

Теперь перейдем к нашей системе уравнений, которая зависит от параметра λ. Запишем ее:
```
λx + 3y = 2
4x + (λ-1)y = 6
```

Наша задача - исследовать эту систему уравнений и найти общее и одно частное решение.

1. Исследование совместности системы: чтобы узнать, имеет ли система решения, нужно рассмотреть ее коэффициенты и определитель матрицы системы.
а) Рассмотрим матрицу системы:
| λ 3 | 2 |
| 4 (λ-1) | 6 |

б) Вычислим определитель матрицы системы по правилу треугольника Саррюса:
определитель = (λ * (λ-1)) - (3 * 4) = λ^2 - λ - 12

2. Посмотрим на определитель матрицы и поймем, какие значения параметра λ делают систему совместной.
а) Определитель ≠ 0: если определитель не равен нулю, то система имеет единственное решение.
б) Определитель = 0: если определитель равен нулю, необходимо рассмотреть случаи.

3. Посмотрим, при каких значениях параметра λ система становится невозможной (не имеет решений) или имеет бесконечно много решений.
а) Определитель = 0: λ^2 - λ - 12 = 0
Решим это квадратное уравнение:
(λ - 4)(λ + 3) = 0
Таким образом, λ = 4 или λ = -3.

4. Рассмотрим случаи для каждого значения параметра λ:
а) Пусть λ ≠ 4 и λ ≠ -3 (это исключит случаи, когда система не имеет решений или имеет бесконечное количество решений).
- Подставим значения λ в исходную систему уравнений:
Для λ = 4:
4x + 3y = 2
4x + (4-1)y = 6
Приводим к упрощенному виду:
4x + 3y = 2
4x + 3y = 6
Видим, что оба уравнения равны между собой. Это означает, что система имеет бесконечное количество решений.

- Чтобы найти общее решение, выберем одну переменную (например, y) и представим ее через другую переменную (например, x):
4x + 3y = 2
3y = 2 - 4x
y = (2 - 4x) / 3
Общее решение будет иметь вид:
x = х
y = (2 - 4x) / 3

- Чтобы найти одно частное решение, представим переменную y через x, выбрав значение x. Например, x = 0:
x = 0
y = (2 - 4*0) / 3
y = 2/3
Таким образом, одно частное решение будет иметь вид:
x = 0
y = 2/3

б) Пусть λ = 4:
- Подставим значение λ в исходную систему уравнений:
4x + 3y = 2
4x + (4-1)y = 6
Приводим к упрощенному виду:
4x + 3y = 2
4x + 3y = 6
Видим, что оба уравнения равны между собой. Это означает, что система имеет бесконечное количество решений.

- Чтобы найти общее решение, выберем одну переменную (например, y) и представим ее через другую переменную (например, x):
4x + 3y = 2
3y = 2 - 4x
y = (2 - 4x) / 3
Общее решение будет иметь вид:
x = х
y = (2 - 4x) / 3

- Чтобы найти одно частное решение, представим переменную y через x, выбрав значение x. Например, x = 0:
x = 0
y = (2 - 4*0) / 3
y = 2/3
Таким образом, одно частное решение будет иметь вид:
x = 0
y = 2/3

в) Пусть λ = -3:
- Подставим значение λ в исходную систему уравнений:
-3x + 3y = 2
4x + (-3-1)y = 6
Приводим к упрощенному виду:
-3x + 3y = 2
4x - 4y = 6
Оба уравнения не равны между собой. Это означает, что система не имеет решений.

Итак, мы исследовали систему линейных уравнений, зависящих от параметра λ, и нашли общие и частные решения для совместных систем.
Общее решение имеет вид: x = х, y = (2 - 4x) / 3, где x - любое значение переменной.
Одно частное решение: при x = 0, y = 2/3.
Если λ равняется 4, то система имеет бесконечное количество решений, и общее и одно частное решения те же самые, как в предыдущем случае.
Если λ равняется -3, то система не имеет решений.