Исследовать на монотонность и точки экстремума функции. найти экстремум на монотонность и точки экстремума функции. найти экстремум функци y=-x^3+6x^2

Область определения функции. ОДЗ:-∞<x<∞

Точка пересечения графика функции с осью координат Y:

График пересекает ось Y, когда x равняется 0: подставляем x=0 в =-x³+6x². 
Результат: y=0. Точка: (0, 0)

Точки пересечения графика функции с осью координат X:

График функции пересекает ось X при y=0, значит, нам надо решить уравнение:

-x³+6x²= 0

Решаем это уравнение  и его корни будут точками пересечения с X:

-x3+6x² = -x²(х-6) = 0

x=0. Точка: (0, 0)

x=6. Точка: (6, 0) .

Экстремумы функции:

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение y'=0 (производная равна нулю), и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:

y'=-3x² + 12х=0

Решаем это уравнение и его корни будут экстремумами:

-3x² + 6х = -3x(х-4) = 0.

x=0. Точка: (0, 0)

x=2. Точка: (4, 32)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимум функции в точке: x_{2} = 0.
Максимум функции в точках: x_{2} = 4.

Возрастает на промежутке [0, 4].

Убывает на промежутках (-oo, 0] U [4, oo).