Исследовать на экстремум u=2*((x-y)^2)+3*((y+z)^2)+((z-x)^2)-y+z

ответ: функция имеет минимум, равный -3/8, в точке M(1/8; 3/8; -3/8). Максимума функция не имеет.

Пошаговое объяснение:

1. Находим первые и вторые частные производные и после приведения подобных членов получаем:

du/dx=6*x-4*y-2*z, du/dy=-4*x+10*y+6*z-1, du/dz=-2*x+6*y+8*z+1, d²u/dx²=2, d²u/dy²=10, d²u/dz²=8, d²u/dxdy=-4, d²u/dydx=-4, d²u/dxdz=-2, d²u/dzdx=-2, d²u/dydz=6, d²u/dzdy=6.

2. Приравнивая нулю первые частные производные, получаем систему уравнений:

6*x-4*y-2*z=0

-4*x+10*y+6*z=1

-2*x+6*y+8*z=-1

Решая её, находим x=1/8, y=3/8, z=-3/8. Таким образом, найдены координаты единственной стационарной точки M (1/8; 3/8; -3/8).    

3. Вычисляем значения вторых частных производных в стационарной точке:

d²u/dx²(M)=a11=6, d²u/dxdy(M)=a12=-4, d²u/dxdz(M)=a13=-2, d²u/dydx(M)=a21=-4, d²u/dy²(M)=a22=10, d²u/dydz(M)=a23=6, d²u/dzdx(M)=a31=-2, d²u/dzdy(M)=a32=6, d²u/dz²(M)=a33=8

4. Составляем матрицу Гессе:

H = a11  a12  a13  =   6   -4   -2

     a21  a22 a23     -4   10   6

     a31  a32  a33    -2    6   8

5.  Составляем и вычисляем угловые миноры матрицы Гессе:

    δ1 = a11 = 6,  δ2 = a11  a12 = 44,  δ3 = a11   a12  a13 = 192

                                  a21 a22                 a21  a22 a23  

                                                                 a31  a32  a33

6. Так как δ1>0, δ2>0 и δ3>0, то точка М является точкой минимума, равного u0=u(1/8; 3/8; -3/8)=-3/8.