Исследовать методами дефференциального исчисления функции и на основании результатов исследований построить график y=1/8(x^3-3x^2-9x+27)

номер 72 на картине (a)

Добрый день!

Для начала, давайте рассмотрим функцию, которую нужно исследовать: y=1/8(x^3-3x^2-9x+27).

В первую очередь, мы можем воспользоваться правилами дифференцирования, чтобы найти производную функции. Производная функции показывает нам, как меняется значение функции при изменении аргумента (x).

Для дифференцирования функции, мы можем использовать правило для нахождения производной суммы, разности, произведения и частного функций.

Применяя правила дифференцирования, находим производную функции:
y' = (1/8)(3x^2-6x-9).

Теперь, чтобы исследовать функцию на экстремумы (максимумы и минимумы), точки перегиба и интервалы возрастания и убывания, мы можем проанализировать производную функции.

Для того, чтобы найти стационарные точки (точки, в которых производная равна нулю) и точки разрыва производной, мы решим уравнение y' = 0. Для этого решим уравнение:
(1/8)(3x^2-6x-9) = 0.

Упрощая это уравнение, получим:
3x^2-6x-9 = 0.

Мы можем решить это уравнение с помощью квадратного трехчлена или факторизации. Решая это уравнение, мы получаем:
x = -1, x = 3.

Таким образом, точки x = -1 и x = 3 являются стационарными точками функции.

Теперь, чтобы определить характер этих стационарных точек (минимум, максимум или точка перегиба), мы проведем анализ второй производной функции.

Для этого найдем вторую производную функции, вычислив производную первой производной:
y'' = d^2y/dx^2 = (1/8)(6x-6).

Затем найдем значение второй производной в стационарных точках x = -1 и x = 3:
y''(-1) = (1/8)(6(-1)-6) = -3/4,
y''(3) = (1/8)(6(3)-6) = 3/4.

Теперь, зная значения второй производной, мы можем сделать вывод о характере стационарных точек.

Если y'' > 0, то это говорит о том, что функция имеет локальный минимум в этой точке.
Если y'' < 0, то это говорит о том, что функция имеет локальный максимум в этой точке.
Если y'' = 0, то это говорит о том, что точка является точкой перегиба.

Теперь рассмотрим значения второй производной в найденных стационарных точках:
y''(-1) = -3/4 < 0,
y''(3) = 3/4 > 0.

Исходя из этого, мы можем сказать, что точка x = -1 является локальным максимумом функции, а точка x = 3 является локальным минимумом функции.

Также, для того чтобы определить интервалы возрастания и убывания функции, мы можем анализировать знаки первой производной функции. Если производная положительна, функция возрастает, если отрицательна - функция убывает.

Рассмотрим знаки первой производной функции в различных интервалах:

Для x < -1:
y' = (1/8)(3x^2-6x-9) < 0.

Значит, функция убывает на интервале (-∞, -1).

Для -1 < x < 3:
y' = (1/8)(3x^2-6x-9) > 0.

Значит, функция возрастает на интервале (-1, 3).

Для x > 3:
y' = (1/8)(3x^2-6x-9) < 0.

Значит, функция убывает на интервале (3, ∞).

Теперь, используя проведенные исследования, мы можем построить график функции y=1/8(x^3-3x^2-9x+27).

Чтобы построить график функции, мы используем найденные информации о точках максимума, минимума, точке перегиба, интервалах возрастания и убывания функции, а также информации о границах функции.

На графике функции мы отметим стационарные точки, точку перегиба, интервалы возрастания и убывания функции, а также границы функции, если они есть.

Первым делом нарисуем оси координат и отметим на них нулевые значения функции (точка пересечения с осью OX). В данном случае у нас функция равна нулю, когда x = 3. Пометим эту точку на горизонтальной оси OX.

Затем отметим на графике все найденные стационарные точки -1 и 3. Учитывая, что x = -1 является точкой локального максимума, а x = 3 - точкой локального минимума, на графике мы отметим пики, которые соответствуют этим точкам.

Для определения интервалов возрастания и убывания, нужно разбить график на интервалы, соответствующие запутанным знакам в первой производной (y').

У нас есть интервалы (-∞, -1), (-1, 3) и (3, ∞), где функция убывает, возрастает и снова убывает соответственно. Значит, на графике функции у нас будет участок функции, идущий вниз (-∞, -1), затем участок, идущий вверх (-1, 3), и снова участок, идущий вниз (3, ∞).

Также, учтем, что у нас есть точка перегиба x=3. Для точки перегиба x = 3, функция меняет свой характер из возрастающей в убывающую или наоборот. Пометим на графике эту точку и проведем кривую, соответствующую этому изменению характера функции.

В конце концов, соединим все отмеченные точки и построим график, учитывая все найденные характеристики функции, интервалы возрастания и убывания.

График функции y=1/8(x^3-3x^2-9x+27), основанный на проведенных исследованиях, будет содержать точки максимума, минимума, перегиба, а также интервалы возрастания и убывания функции.

Надеюсь, что эта информация поможет вам в исследовании и построении графика функции. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать их. Желаю успехов в изучении дифференциального исчисления!