Исследовать функцию у=x^4-4x^3+4x^2

ДАНО: Y(x) = x⁴ - 4*x³+ 4*x² .

ИССЛЕДОВАНИЕ:

Описание ГЛАЗАМИ: Функция четвертого порядка с положительным коэффициентом - примерно парабола и ветви вверх. Должно быть четыре корня.

1. Область определения. Непрерывная. Разрывов нет.  

D(x) = (-∞;+∞)

2. Нули функции - пересечение с осью ОХ.

Y= x²*(4*x²- 4*x +4) = 0

х₁ =0 и х₃ = 2 Двух других нет.

Пересечение с осью ОУ - Y(0) = 0/

3. Интервалы знакопостоянства/

Положительна: Y>0  X∈(-∞;0)∪(0;2)∪(2;+∞)  

Y=0   X=(0;2) - в нулях функции. корней.

4. Поиск экстремумов по первой производная функции .

Y'(x) = 4*x³ -12*x² + 8x = 4*x*(x²- 12*x + 2) = 0

Точки экстремумов: x = 1, x = 2, x = 0

5 Локальные экстремумы:

Ymin(0) = Y(2) = 0,  Ymax(1) = 1.  

6. Интервалы монотонности.

Убывает: Х∈(-∞;0) ∪ (1;2)

Возрастает: Х∈(0;1) ∪ (2;+∞)

7, Поиск точек перегиба по второй производной

Y"(x) = 12*x² -24х +8 = 0

x₈  ≈ 0.42 и х₉ = 1.58 - точки перегиба.

8. Вогнутая - "ложка" - Х∈(-∞;0,42)∪(1.58;+∞) - вне корней.

Выпуклая - "горка" - Х∈(х₈=-0,42;1.58)

График на рисунке  в приложении.