Исследовать функцию на условный экстремум:
Z=1/х+1/у
при х+у=2​

Для исследования функции на условный экстремум нам необходимо использовать метод множителей Лагранжа.

Шаг 1: Запишем функцию, которую нам нужно исследовать, а также ограничение:

Z = 1/x + 1/y,

x + y = 2.

Шаг 2: Введем множители Лагранжа. Обозначим их как λ:

f(x,y) = 1/x + 1/y + λ(x + y - 2).

Шаг 3: Найдем частные производные функции f(x,y) по x, y и λ:

∂f/∂x = -1/x^2 + λ,
∂f/∂y = -1/y^2 + λ,
∂f/∂λ = x + y - 2.

Шаг 4: Решим систему уравнений, приравняв частные производные к нулю:

-1/x^2 + λ = 0,
-1/y^2 + λ = 0,
x + y = 2.

Шаг 5: Решим первые два уравнения системы относительно λ:

1/x^2 = λ,
1/y^2 = λ.

Отсюда получаем, что 1/x^2 = 1/y^2. Умножим обе части на x^2 и y^2:

y^2 = x^2.

Шаг 6: Подставим это равенство в третье уравнение системы:

x + y = 2.

Получаем систему уравнений:

y^2 = x^2,
x + y = 2.

Шаг 7: Решим эту систему уравнений. Выразим y из второго уравнения и подставим в первое:

y = 2 - x,

(2 - x)^2 = x^2.

Раскроем скобки:

4 - 4x + x^2 = x^2.

Упростим:

4 - 4x = 0.

Шаг 8: Решим это уравнение относительно x:

4 = 4x,
x = 1.

Шаг 9: Найдем значение y, подставив найденное x во второе уравнение системы:

1 + y = 2,
y = 1.

Шаг 10: Теперь найдем значение функции Z в точке (x, y) = (1, 1):

Z = 1/x + 1/y = 1/1 + 1/1 = 1 + 1 = 2.

Ответ: Значение функции Z равно 2 в точке (x, y) = (1, 1).

Для проверки можно взять другие точки, полученные при решении системы уравнений, и посчитать значения функции Z в этих точках. Если в какой-то из точек значение функции будет больше или меньше 2, то в точке (1, 1) будет достигаться условный экстремум.