Исследовать функцию на экстремум: z = x^2+y^2+xy-4x-5y

Для исследования функции z = x^2 + y^2 + xy - 4x - 5y на экстремум, мы должны найти места, где функция имеет локальные минимумы или максимумы. Воспользуемся несколькими шагами:

Шаг 1: Вычислим частные производные функции по переменным x и y.
Для нашего случая, чтобы найти частные производные, мы будем дифференцировать каждое слагаемое по каждой переменной. Затем суммируем результаты. Вот вычисленные результаты:

∂z/∂x = 2x + y - 4
∂z/∂y = 2y + x - 5

Шаг 2: Найдем точки, где частные производные равны нулю.
Решим уравнения: 2x + y - 4 = 0 и 2y + x - 5 = 0, чтобы найти значения x и y, при которых производные равны нулю.

Для уравнения 1: 2x + y - 4 = 0, выразим y:
y = 4 - 2x

Подставим это значение во второе уравнение: 2(4 - 2x) + x - 5 = 0
8 - 4x + x - 5 = 0
-3x + 3 = 0
-3x = -3
x = 1

Подставим найденное значение x = 1 в оставшееся уравнение для y:
y = 4 - 2(1)
y = 4 - 2
y = 2

Таким образом, мы получили одну точку экстремума, (1, 2).

Шаг 3: Определим тип точки экстремума.
Чтобы определить тип точки экстремума (максимум или минимум), нам необходимо проанализировать вторые производные.
Найдем вторые частные производные функции z по x и y.

∂^2z/∂x^2 = 2
∂^2z/∂y^2 = 2
∂^2z/∂x∂y = 1

Шаг 4: Вычислим дискриминант.
Для оценки типа точки экстремума мы вычислим дискриминант, который определяется как D = (∂^2z/∂x^2)(∂^2z/∂y^2) - (∂^2z/∂x∂y)^2.

D = (2)(2) - (1)^2
D = 4 - 1
D = 3

Если D > 0 и (∂^2z/∂x^2) > 0, то точка экстремума будет минимумом.
Если D > 0 и (∂^2z/∂x^2) < 0, то точка экстремума будет максимумом.
Если D < 0, точка экстремума будет седловой точкой.

В нашем случае D > 0 и (∂^2z/∂x^2) > 0, так что точка экстремума (1, 2) является локальным минимумом.

Чтобы свести это в краткую форму, функция z = x^2 + y^2 + xy - 4x - 5y имеет локальный минимум в точке (1, 2).