Исследовать функцию и построить ее график: y=-x^4+2x^2+3

Дана функция: y = -x^4 + 2x^2 + 3

При построении графиков функций  можно примерно придерживаться следующего плана:

 1. Найти область определения функции и область значений функции, выявить точки разрыва, если они есть.

Ограничений нет: функция определена и непрерывна на всей числовой прямой, отсутствуют вертикальные асимптоты и точки разрыва функции.

Область значений определится после нахождения экстремумов.

2. Выяснить, является ли функция четной или нечетной.

Проверим функцию -  четна или нечетна с соотношений f(x)=f(-x) и f(x)=-f(-x). 

Так как переменная в чётных степенях, то функция чётная.

3. Выяснить, является ли функция периодической - нет.

4. Найти точки пересечения графика с осями координат (нули функции).

Точка пересечения графика функции с осью координат Оу:

График пересекает ось Y, когда x равняется 0: подставляем x=0 в -x^4+2x^2+3.

у =-0^4+2*0^2+3 = 3,

Результат: y=3. Точка: (0; 3).

Точки пересечения графика функции с осью координат Ох:

График функции пересекает ось X при y=0, значит, нам надо решить уравнение: -x^4+2x^2+3 = 0.

Делаем замену х^2 = t и получаем квадратное уравнение:

-t^2+2t+3 = 0.

Квадратное уравнение, решаем относительно t: 

Ищем дискриминант:

D=2^2-4*(-1)*3=4-4*(-1)*3=4-(-4)*3=4-(-4*3)=4-(-12)=4+12=16;

Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:

t_1=(√16-2)/(2*(-1))=(4-2)/(2*(-1))=2/(2*(-1))=2/(-2)=-2/2=-1;

t_2=(-√16-2)/(2*(-1))=(-4-2)/(2*(-1))=-6/(2*(-1))=-6/(-2)=-(-6/2)=-(-3)=3.

Первый корень отбрасываем, так как квадрат х не может быть отрицательным числом.

Находим 2 точки пересечения графика с осью Ох: х = √3 и х = -√3.

5. Найти асимптоты графика - их нет, так как все пределы при х⇒∞ равны ∞.

6. Вычислить производную функции f'(x) и определить критические точки.

y' = 4x³ + 4x = -4x(x² - 1).

Приравниваем нулю: -4x(x² - 1) = 0.

Получаем 3 критические точки: х = 0,  х = 1 и х = -1.

7. Найти промежутки монотонности функции.

Получили 4 промежутка: (-∞; -1), (-1; 0), (0; 1) и (1; +∞).

8. Определить экстремумы функции f(x).

Где производная положительна - функция возрастает, где отрицательна - там убывает. Точки, в которых происходит смена знака и есть точки экстремума - где производная с плюса меняется на минус - точка максимума, а где с минуса на плюс - точки минимума.

x =    -2       -1      -0,5      0      0,5      1       2
y' =   24       0      -1,5       0      1,5     0      -24.
Имеем: 2 максимума: (-1; 4) и (1; 4) и локальный минимум (0; 3).
             4 промежутка монотонности:
              - возрастание (-∞; -1) и (0; 1),
              - убывание      (-1; 0) и (1; +∞).
Теперь определилась область значений функции: (-∞; 3].

9. Вычислить вторую производную f''(x) = -12x^2+ 4.

Приравниваем нулю: -12x^2+ 4 = -12(x^2- (1/3)) = 0.

Имеем 2 точки перегиба: х = 1/√3 и -1/√3.

10. Определить направление выпуклости графика и точки перегиба.

где вторая производная меньше нуля, там график функции выпуклый, а где больше - вогнутый.

x =    -1         -0,57735        0         0,57735        1
y'' =  -8                0             4               0             -8.
График выпуклый на промежутках (-∞; (-1/√3)) и ((1/√3); +∞),
             вогнутый на промежутке (-1/√3) (1/√3)).

11. Построить график, используя полученные результаты исследования.

Дан в приложении.