Исследовать функцию и построить ее график: y= -x^3+9x^2 . !

1.Область определения D(x) - Х∈(-∞;+∞) - непрерывная. Нет деления на ноль.

2. Пересечение с осью Х. Y= x²*(x+9) при х = 0,0, 9 

Положительна - во всем интервале..

3. Пересечение с осью У.  У(0) = 0. 

4. Поведение на бесконечности.limY(-∞) = + ∞  limY(+∞) = -∞ 

Горизонтальной асимптоты - нет.

5. Исследование на чётность.Y(-x) ≠ - Y(x).

Функция ни чётная ни нечётная - общего вида. 

6. Производная функции.Y'(x)= -3*x² +18*х = -3*х*(x-6). 

Корни при Х= 0 и 6.

(-∞)__(<0-убыв)__(0)___(>0-возр)___(6)__(<0-убыв)_____(+∞)

7. Локальные экстремумы. 

Максимум Ymax(6)= 108 , минимум – Ymin(0)=0. 

8. Интервалы возрастания и убывания. 

Возрастает - между корнями - Х∈[0;6], убывает = Х∈(-∞;0]∪[6;+∞). 

8. Вторая производная - Y"(x) = -6*x + 18= -6*(х -3)=0. 

Корень производной - точка перегиба Y"(x)= 0 при  х=3. 

9. Выпуклая “горка» Х∈(3;+∞), Вогнутая – «ложка» Х∈(-∞;3). 

10. График в приложении.