исследовать функцию 1/1+x² и построить её график

Исследовать функцию и построить график  

1) Область определения функции

2) Точки пересечения графика функции с осью OY

 точка пересечение (0; 1)

3) Исследуем функции на четность

Так как  , то функция является четной

4) Функция имеет две точки разрыва -1 и 1 , поэтому график функции имеет две вертикальные асимптоты  х =-1 и х =1.

Найдем наклонные асимптоты   , где

Так как k=0, то наклонных асимптот нет, а есть горизонтальные.  

Найдем теперь коэффициент b.

Подставляем найденные коэффициенты в формулу y = kx + b, получаем, что y = 0​ - горизонтальная асимптота.

5) Найдем экстремумы функции. Для это найдем производную y' и приравняем ее к нулю y' = 0

Тогда

Получилась одна критическая точка.

6) Найденные точки разрыва и точки экстремума, разбивают область определения на четыре интервала. Находим знак производной (у') на каждом интервале.

x         x<-1       -1<x<0      0             0<x<1     x>1

y'          -             -                0             +             +

y         убыв.     убыв.        1             воз.        воз.

В точке экстремума (х=0) производная меняет знак с "-" на "+"  значит это точка минимума.

7)  Найдем точки перегиба и промежутки выпуклости и вогнутости. Для этого найдем вторую производную

Решаем методом интервалов

Корней нет, значит точек перегиба нет  и    

Отмечаем на числовой прямой все найденные точки разрыва и критические точки , в нашем случае это точки –1; 0 ; 1.

Методом интервалов определяем знаки    на полученных интервалах.  

Интервал X < -1 ,

 f''(x) = "–"  < 0 - график функции   является выпуклым на данном интервале;

Интервал – 1 < X < 1 ,

 f''(x) = "+"  > 0 - график функции   является вогнутым на данном интервале;

Интервал X > 1 ,

 f''(x) = "–"  < 0 - график функции   является выпуклым на данном интервале;

Пошаговое объяснение:

Исследовать функцию и построить график  

1) Область определения функции

2) Точки пересечения графика функции с осью OY

 точка пересечение (0; 1)

3) Исследуем функции на четность

Так как  , то функция является четной

4) Функция имеет две точки разрыва -1 и 1 , поэтому график функции имеет две вертикальные асимптоты  х =-1 и х =1.

Найдем наклонные асимптоты   , где

Так как k=0, то наклонных асимптот нет, а есть горизонтальные.  

Найдем теперь коэффициент b.

Подставляем найденные коэффициенты в формулу y = kx + b, получаем, что y = 0​ - горизонтальная асимптота.

5) Найдем экстремумы функции. Для это найдем производную y' и приравняем ее к нулю y' = 0

Тогда

Получилась одна критическая точка.

6) Найденные точки разрыва и точки экстремума, разбивают область определения на четыре интервала. Находим знак производной (у') на каждом интервале.

x         x<-1       -1<x<0      0             0<x<1     x>1

y'          -             -                0             +             +

y         убыв.     убыв.        1             воз.        воз.

В точке экстремума (х=0) производная меняет знак с "-" на "+"  значит это точка минимума.

7)  Найдем точки перегиба и промежутки выпуклости и вогнутости. Для этого найдем вторую производную

Решаем методом интервалов

Корней нет, значит точек перегиба нет  и    

Отмечаем на числовой прямой все найденные точки разрыва и критические точки , в нашем случае это точки –1; 0 ; 1.

Методом интервалов определяем знаки    на полученных интервалах.  

Интервал X < -1 ,

 f''(x) = "–"  < 0 - график функции   является выпуклым на данном интервале;

Интервал – 1 < X < 1 ,

 f''(x) = "+"  > 0 - график функции   является вогнутым на данном интервале;

Интервал X > 1 ,

 f''(x) = "–"  < 0 - график функции   является выпуклым на данном интервале;