Исследование функций с производной исседовать y=-3x+x^3

Дана функция y = x³ - 3x.
1. Область определения функции: x ∈ (-∞; ∞).

 2. Точки пересечения с осью координат X.

График функции пересекает ось X при f = 0, значит надо решить уравнение: x³ - 3x = 0.

 x(x² - 3) = 0. Получаем 3 корня 

x₁ = 0, х₂ = √3,  х₃ = -√3.

3. Точки пересечения с осью координат Y.

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:

подставляем x = 0 в x³ - 3x.

   0³ - 3*0 = 0.

Результат:

f(0) = 0.

Точка:

(0, 0).

4. Экстремумы функции.

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение

d          

--(f(x)) = 0

dx         

(производная равна нулю), и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:

d         

--(f(x)) = 3x² - 3.

dx        

         

3x² - 3  = 0

Решаем это уравнение: 3(х² - 1) = 0,

Корни этого уравнения x₁ = 1 и х₂ = -1.

Значит, экстремумы в точках:

(-1, 2)

(1, -2)

5. Интервалы возрастания и убывания функции:

Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:

х =   -2    -1     0     1     2
y' =   9     0    -3     0     9

Минимумы функции в точках: x_{2} = 1.
Максимумы функции в точках: x_{2} = -1.
Убывает на промежутках (-oo, -1] U [1, oo)

Возрастает на промежутках [-1, 1]

6. Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение

  2         

 d          

---(f(x)) = 0

  2         

dx          

(вторая производная равняется нулю), корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции,

  2        

 d         

---(f(x)) =

  2        

dx          

6х = 0.

Решаем это уравнение.

Корни этого уравнения x1 = 0.

7. Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках [0, oo)
Выпуклая на промежутках (-oo, 0]

8. Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
\lim_{x \to -\infty}\left(x^{3} - 3 x\right) = -∞.
Значит, горизонтальной асимптоты слева не существует
\lim_{x \to \infty}\left(x^{3} - 3 x\right) = ∞.
Значит, горизонтальной асимптоты справа не существует.

9. Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^3 - 3*x, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(x^{3} - 3 x\right)\right) = ∞
Значит, наклонной асимптоты слева не существует.
\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(x^{3} - 3 x\right)\right) = ∞.
Значит, наклонной асимптоты справа не существует.

10. Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
x^{3} - 3 x = - x^{3} + 3 x.
- Нет
x^{3} - 3 x = - -1 x^{3} - 3 x.
- Нет.
Значит, функция не является ни чётной, ни нечётной.

11. График дан в приложении.