Исследование функции с производной

9.58. Для данной функции:

1) найдите точки экстремума функции;

2) найдите наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке;

3) напишите уравнение касательной к графику функции в точке.

Вариант 1
Дана функция f(x) = x^3 - 7х^2 + 11х - 21 (промежуток [-1; 3];
точка х= 1).

Вариант 2
Дана функция f(x) = x^3 – 3x^2 -9x- 3 (промежуток -1; 4); точка
х = 2​

Добрый день! Давайте решим эту задачу пошагово.

Вариант 1:
Дана функция f(x) = x^3 - 7х^2 + 11х - 21 на промежутке [-1; 3] при точке x = 1.

1) Чтобы найти точки экстремума функции, нужно найти значения производной и приравнять их к нулю.

f'(x) - производная функции f(x), которую мы найдем, взяв производные от каждого слагаемого функции f(x).

f'(x) = 3x^2 - 14x + 11

Теперь приравняем f'(x) к нулю и решим уравнение.

3x^2 - 14x + 11 = 0

Это квадратное уравнение. Решим его с помощью квадратного корня или формулы дискриминанта.

Дискриминант D = (-14)^2 - 4 * 3 * 11 = 196 - 132 = 64
Корень из D = sqrt(64) = 8

Теперь найдем значения x, при которых f'(x) = 0.

x1 = (-(-14) + 8) / (2 * 3) = (14 + 8) / 6 = 22 / 6 = 11 / 3 ≈ 3.6667
x2 = (-(-14) - 8) / (2 * 3) = (14 - 8) / 6 = 6 / 6 = 1

Итак, у нас есть две точки экстремума: x1 ≈ 3.6667 и x2 = 1.

2) Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке [-1; 3], нужно подставить концы промежутка и точки экстремума в функцию f(x) и найти соответствующие значения f(x).

f(-1) = (-1)^3 - 7(-1)^2 + 11(-1) - 21 = -1 + 7 - 11 - 21 = -26
f(3) = (3)^3 - 7(3)^2 + 11(3) - 21 = 27 - 63 + 33 - 21 = -24
f(3.6667) = (3.6667)^3 - 7(3.6667)^2 + 11(3.6667) - 21 ≈ 2.7037

Сравним полученные значения и выберем наибольшее и наименьшее:

Наибольшее значение функции: f(3.6667) ≈ 2.7037
Наименьшее значение функции: f(-1) = -26

3) Чтобы найти уравнение касательной к графику функции в точке, нужно найти значение производной в данной точке и использовать формулу касательной.

f'(x) = 3x^2 - 14x + 11

Подставим значение x = 1 в производную и найдем значение производной в данной точке:

f'(1) = 3(1)^2 - 14(1) + 11 = 3 - 14 + 11 = 0

Так как значение производной равно нулю, уравнение касательной будет иметь вид:

y - f(1) = f'(1) * (x - 1)

Подставим значения и найдем уравнение касательной:

y - f(1) = 0 * (x - 1)
y - f(1) = 0
y = f(1)

y = (1)^3 - 7(1)^2 + 11(1) - 21
y = 1 - 7 + 11 - 21
y = -16

Итак, уравнение касательной к графику функции в точке (1, -16) будет y = -16.


Вариант 2:
Дана функция f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x - 3 на промежутке -1 до 4 при точке x = 2.

Проделаем все шаги, аналогичные первому варианту.

1) f'(x) = 3x^2 - 6x - 9

3x^2 - 6x - 9 = 0

D = (-6)^2 - 4 * 3 * (-9) = 36 + 108 = 144
Корень из D = sqrt(144) = 12

x1 = (-(-6) + 12) / (2 * 3) = (6 + 12) / 6 = 18 / 6 = 3
x2 = (-(-6) - 12) / (2 * 3) = (6 - 12) / 6 = -6 / 6 = -1

У нас есть две точки экстремума: x1 = 3 и x2 = -1.

2) f(-1) = (-1)^3 - 3(-1)^2 - 9(-1) - 3 = -1 - 3 + 9 - 3 = 2
f(4) = (4)^3 - 3(4)^2 - 9(4) - 3 = 64 - 48 - 36 - 3 = -23
f(2) = (2)^3 - 3(2)^2 - 9(2) - 3 = 8 - 12 - 18 - 3 = -25

Наибольшее значение функции: f(-1) = 2
Наименьшее значение функции: f(2) = -25

3) f'(2) = 3(2)^2 - 6(2) - 9 = 12 - 12 - 9 = -9

Уравнение касательной будет иметь вид:

y - f(2) = f'(2) * (x - 2)

y - f(2) = -9 * (x - 2)

y - f(2) = -9x + 18

y = -9x + 18

Итак, уравнение касательной к графику функции в точке (2, -25) будет y = -9x + 18.

Надеюсь, я смог вам помочь! Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать.