Используя признак Даламбера, исследовать ряд на сходимость:

Добрый день, дорогой ученик! Давай разберемся вместе с этой задачей по исследованию ряда на сходимость, используя признак Даламбера.

Итак, у нас дано выражение, которое содержит ряд:
∑(n=1 до бесконечности) (2^n + 3^n)/(2^n + 5^n)

Для начала, давай разберемся, что такое признак Даламбера. Признак Даламбера - это способ исследования сходимости ряда, основанный на анализе отношения двух последовательных членов ряда.

Для применения признака Даламбера необходимо рассмотреть следующее выражение:
D(n) = (a_(n+1)) / (a_n), где a_n это n-ый член ряда.

Теперь давай применим признак Даламбера к нашему ряду. Для этого рассмотрим отношение двух последовательных членов ряда:
D(n) = [(2^(n+1) + 3^(n+1))/(2^(n+1) + 5^(n+1))] / [(2^n + 3^n)/(2^n + 5^n)]

Для упрощения выражения, разделим числитель и знаменатель на 2^n:
D(n) = [(2/2^n + 3/2^n) * (2^n+1/2^n+1)] / [(2^n/2^n + 3^n/2^n) * (2^n+1/2^n+1)]

Теперь выполняем алгебраические преобразования:
D(n) = [(2/2^n + 3/2^n) * [2*2^n+1 / (2^n+1)^2]] / [(1 + 3^n/2^n) * [(2^n+1)^2 / 2^(n+1)*2^n]]

Упрощаем дроби:
D(n) = [(2/2^n + 3/2^n) * [2*2^n+1 / (2^(n+1))^2]] / [(1 + 3^n/2^n) * [(2^n+1) / 2^n]]

Продолжим сокращать выражения:
D(n) = [(2/2^n + 3/2^n) * 2*2^n+1 / (2^(n+1))^2] / [(1 + 3^n/2^n) * (2^n+1) / 2^n]

Умножаем числители и делим на знаменатели:
D(n) = [(2*2^n + 3*2^n) * 2*2^n+1] / [(2^(n+1))^2 * (1 + 3^n/2^n) * (2^n+1)]

D(n) = [10*2^(3n+1)] / [(2^(n+1))^2 * (1 + 3^n/2^n) * (2^n+1)]

Теперь упростим выражение:
D(n) = 10 * 2^(3n+1) / 2^(2n+2) * (1 + 3^n/2^n) * (2^n+1)

D(n) = 10 * 2^(3n+1 - 2n - 2) * (1 + 3^n/2^n) * (2^n+1)

D(n) = 10 * 2^(n-1) * (1 + 3^n/2^n) * (2^n+1)

Теперь, чтобы исследовать ряд на сходимость, мы должны рассмотреть предел D(n) при n стремящемся к бесконечности.

Обрати внимание на нашу последовательность 2^(n-1). Когда n растет, 2^(n-1) также растет и стремится к бесконечности.

Теперь рассмотрим два слагаемых, содержащих 1 и (3^n/2^n). Предельное значение первого слагаемого равно 1.

Давай рассмотрим второе слагаемое. Когда n стремится к бесконечности, (3^n/2^n) также стремится к бесконечности. Это означает, что второе слагаемое в пределе будет бесконечно большим числом.

И так, у нас есть случай, когда одно слагаемое стремится к 1, а другое к бесконечности. В таком случае, предельное значение D(n) будет равно бесконечности.

Следовательно, исследуемый ряд является расходящимся (несходящимся), так как предел D(n) не существует или равен бесконечности.

Надеюсь, что мое разъяснение было доходчивым и понятным. Если у тебя возникнут еще вопросы, не стесняйся задавать!