Хоть что-то из
даны координаты вершин пирамиды a1 а2 а3 а4. найти:
а) угол между рёбрами а1 а2 и а1 а3;
б) площадь грани а1 а2 а3;
в) уравнение плоскости а1 а2 а3;
г) уравнение высоты, проходящей через а4;
д) объём пирамиды.

Для удобства примем координаты вершин пирамиды АВСD :

A(1, -1, 1), B(2, 4, 0) , C(2, 2, -1), D(-1, 0, 2).

а) угол между рёбрами А1 А2 и А1 А3  (АВ и АС).

Вектор  АВ = (2-1=1; 4-(-1)=5; 0-1=-1) = (1; 5; -1).  Модуль равен √27.

Вектор АС = (1; 3; -2). Модуль равен √14.

Находим их скалярное произведение:

АВ * АС = 1 + 15 + 2 = 18.

cos(АВ * АС) = 18/(√27*√14) ≈ 0,9258.

Угол равен arc cos 0,9258 = 0,3876 радиан или 22,2077 градуса.

б) площадь грани А1 А2 А3 (АВС).

Векторы АВ и АС получены, находим их векторное произведение.

Вектор  АВ = (1; 5; -1), вектор АС = (1; 3; -2).

i             j          k |          i          j

1           5          -1 |          1         5

1           3         -2 |          1          3 = -10i - 1j + 3k + 2j +3i - 5k = -7i + 1j - 2k.

Нормальный вектор к плоскости АВС равен (-7; 1; -2).

Площадь АВС равна половине модуля векторного произведения:

S = (1/2)*√(49 + 1 + 4) = √54/2 ≈ 3,674.

в) уравнение плоскости А1 А2 А3 (АВС);

Составим его по заданным координатам точки А(1, -1, 1) и полученному нормальному вектору плоскости АВС(-7; 1; -2).

-7(x - 1) + 1(y + 1) - 2(z - 1) = -7x + 7 + y + 1 - 2z + 2 =  -7x + y - 2z + 10.

г) уравнение высоты, проходящей через А4 (D).

Направляющий вектор высоты из точки D - это нормальный вектор  плоскости АВС.

Уравнение прямой DO по координатам точки D и направляющему вектору ABC:  (x + 1)/(-7) = y/1 = (z - 2)/(-2).

д) объём пирамиды. Для этого находим вектор AD  = (-2; 1; 1).

Находим объём пирамиды как (1/6) модуля смешанного произведения векторов АВ и АС (-7; 1; -2) на AD(-2; 1; 1).

V = (1/6)*(14 + 1 - 2) = (13/6) ≈ 2,17 куб.ед.