Где можно использовать в жизни тему окружность девяти точек​

Вопрос философский. Конечно, есть более важные математические факты. Такие, например, как теоремы Чевы, Менелая, Ван-Обеля, Птолемея, Герона, не говоря уже о теореме Пифагора.

Но смотрите: пусть в условии Вам дан радиус окружности, проходящей через основания высот треугольника, а нужно найти радиус описанной окружности. Зная про окружность девяти точек, Вы тут же скажете, что радиус описанной окружности в два раза больше, а если не знаете?

Или Вам дано расстояние между ортоцентром (то есть точкой пересечения высот треугольника) и   центром описанной окружности (то есть точкой пересечения серединных перпендикуляров). А требуется найти расстояние между центроидом (то есть точкой пересечения медиан) и центром окружности, проходящей через середины сторон. Здесь также домашняя заготовка в виде теоремы Эйлера про эту самую окружность не будет лишней.

Кстати, а знаете ли Вы, что эта окружность касается (внутренним образом) вписанной окружности и (внешним образом) всех вневписанных (это так называемая теорема Фейербаха)?

И вообще знание таких фактов улучшает настроение и повышает самооценку.))