Функция является гладкой на промежутке​

Для того, чтобы понять, является ли функция гладкой на промежутке [1, +∞), нам нужно разобраться, что такое гладкая функция.

Функция является гладкой, если ее производная существует и непрерывна на всем промежутке. Производной функции называется функция, которая показывает, как меняется значение этой функции при изменении аргумента.

Чтобы узнать, является ли функция гладкой на промежутке [1, +∞), нужно вычислить ее производную и проверить, существует ли она и непрерывна ли она на этом промежутке.

Для начала, давайте представим, что у нас есть функция f(x), заданная на промежутке [1, +∞). Тогда, чтобы найти ее производную, мы должны взять производную каждого члена функции по отдельности.

Теперь давайте рассмотрим пример функции, чтобы продемонстрировать, как это делается. Предположим, что f(x) = x^2 + 3x + 2.

1. Сначала найдем производную первого члена функции, x^2. Производная x^2 равна 2x.

2. Затем найдем производную второго члена функции, 3x. Производная 3x равна 3.

3. Наконец, найдем производную последнего члена функции, 2. Производная константы равна нулю.

Теперь объединим все полученные производные вместе. Производная функции f(x) равна сумме производных каждого члена:

f'(x) = 2x + 3 + 0
f'(x) = 2x + 3

Таким образом, мы получили функцию f'(x), которая является производной исходной функции f(x).

Теперь, чтобы узнать, является ли функция гладкой на промежутке [1, +∞), нужно проверить, существует ли и непрерывна ли производная f'(x) на этом промежутке.

Для этого нам нужно проверить, существуют ли и непрерывны ли его члены: 2x и 3.

1. Существует ли и непрерывна ли член 2x на промежутке [1, +∞)? Да, член 2x существует и является непрерывным на этом промежутке, так как x увеличивается на всем промежутке и не имеет разрывов. Таким образом, этот член производной f'(x) существует и непрерывен.

2. Существует ли и непрерывна ли член 3 на промежутке [1, +∞)? Да, член 3 существует и является непрерывным на этом промежутке, так как это константа и не зависит от значения x. Таким образом, этот член производной f'(x) существует и непрерывен.

Таким образом, все члены производной f'(x) существуют и непрерывны на промежутке [1, +∞). Следовательно, функция f(x) является гладкой на этом промежутке.

Для решения задачи нам понадобилось вычислить производную функции и проверить, существует ли и непрерывна ли она на промежутке [1, +∞). Решив этот вопрос, мы можем утверждать, что функция является гладкой на данном промежутке.