Функция убывает y=x^3 −4x^5 −7на промежутке:
1) [0;0,01]
2) (−∞;−1)
3) [5;8]

Привет! Давай разберемся с этой задачей.

Для начала нам нужно понять, что значит "функция убывает". Функция говорится убывающей на каком-то промежутке, если значения функции уменьшаются с увеличением значения аргумента на этом промежутке.

Теперь рассмотрим каждый из промежутков по очереди и проверим, убывает ли функция на них.

1) Промежуток [0;0,01]
Для начала найдем первую производную функции y=x^3 - 4x^5 - 7 и приравняем ее к нулю, чтобы найти точки экстремума:
y' = 3x^2 - 20x^4 = 0

Теперь найдем значения x, которые являются решениями этого уравнения. Подставим y' = 0 и решим полученное уравнение:
0 = 3x^2 - 20x^4
x^2(3 - 20x^2) = 0
x^2 = 0 or 3 - 20x^2 = 0

Первое уравнение x^2 = 0 имеет одно решение: x = 0.

Второе уравнение 3 - 20x^2 = 0 имеет два решения: x = -√(3/20) и x = √(3/20).

Теперь найдем вторую производную функции для проверки характера точек, найденных выше:
y'' = 6x - 80x^3

Подставим найденные значения x: -√(3/20), 0, √(3/20) и проанализируем полученные результаты:

y''(-√(3/20)) ≈ 0,12
y''(0) = 0
y''(√(3/20)) ≈ -0,12

Из полученных значений можно сделать вывод, что точка x = 0 является точкой минимума, так как y''(0) = 0. Также мы видим, что функция убывает слева от x = 0 и возрастает справа от x = 0.

Теперь проверим значения функции на границах промежутка [0;0,01]:
y(0) = 0^3 - 4*0^5 - 7 = -7
y(0,01) ≈ 0,00999995999999997

Поскольку значения функции уменьшаются с увеличением значения аргумента на промежутке [0;0,01], можно сделать вывод, что функция убывает на этом промежутке.

2) Промежуток (-∞; -1)
На этом промежутке мы можем применить тот же алгоритм, что и в пункте 1:

Найдем первую производную функции и приравняем ее к нулю:
y' = 3x^2 - 20x^4 = 0

Решим уравнение 3x^2 - 20x^4 = 0:
x^2(3 - 20x^2) = 0
x^2 = 0 или 3 - 20x^2 = 0

Первое уравнение x^2 = 0 имеет одно решение: x = 0.

Второе уравнение 3 - 20x^2 = 0 не имеет решений.

Теперь найдем вторую производную функции и проанализируем значения на промежутке (-∞; -1) :

y'' = 6x - 80x^3

Подставим значение x = -1 и проанализируем результат:

y''(-1) = -6 - 80*(-1)^3 = -6 + 80 = 74

Значение y''(-1) = 74 больше нуля, поэтому наша функция выпуклая вниз на этом промежутке.

Теперь проверим значения функции на границах промежутка (-∞; -1):
y(-∞) = (-∞)^3 - 4*(-∞)^5 - 7
Здесь нет конкретного значения, поскольку мы получаем бесконечность.
y(-1) = (-1)^3 - 4*(-1)^5 - 7 = -1 + 4 - 7 = -4

Таким образом, значения функции уменьшаются с увеличением значения аргумента на промежутке (-∞; -1), что означает, что функция убывает на этом промежутке.

3) Промежуток [5;8]
Для этого промежутка мы можем применить тот же алгоритм:

Найдем первую производную функции и приравняем ее к нулю:
y' = 3x^2 - 20x^4 = 0

Решим уравнение 3x^2 - 20x^4 = 0:
x^2(3 - 20x^2) = 0
x^2 = 0 или 3 - 20x^2 = 0

Первое уравнение x^2 = 0 имеет одно решение: x = 0.

Второе уравнение 3 - 20x^2 = 0 не имеет решений.

Найдем вторую производную функции и проанализируем значения на промежутке [5;8]:

y'' = 6x - 80x^3

Проверим значения y'' для значений x на промежутке [5;8]:

y''(5) = 6*5 - 80*5^3 = 30 - 2000 = -1970
y''(8) = 6*8 - 80*8^3 = 48 - 5120 = -5072

Таким образом, значения y'' для x на промежутке [5;8] отрицательные, что означает, что функция выпуклая вверх на этом промежутке.

Теперь проверим значения функции на границах промежутка [5;8]:
y(5) = 5^3 - 4*5^5 - 7 = 125 - 5000 - 7 = -4882
y(8) = 8^3 - 4*8^5 - 7 = 512 - 20480 - 7 = -20075

Значения функции уменьшаются с увеличением значения аргумента на промежутке [5;8], поэтому функция убывает на этом промежутке.

Итак, чтобы ответить на вопрос, на каком из промежутков функция убывает, мы должны сравнить результаты для каждого промежутка:

1) Функция убывает на промежутке [0;0,01]
2) Функция убывает на промежутке (-∞; -1)
3) Функция убывает на промежутке [5;8]

Надеюсь, это решение помогло понять задачу! Если у тебя есть еще вопросы, не стесняйся спрашивать.