Фирма производит продукт в количестве q, используя два ресурса в количествах X и Y; его производственная функция q = 3X^(0,2)Y^(0,8) Цены на ресурсы pX = 6, pY = 12. стоит 200 кук. Найдите лучшее количество ресурсов для покупки.

Добрый день, уважаемый ученик!

Для решения этой задачи, нам необходимо найти оптимальное количество ресурсов для покупки, чтобы минимизировать затраты на производство продукта.

Давайте разберемся пошагово:

Шаг 1: Запишем производственную функцию

У нас есть производственная функция q = 3X^(0,2)Y^(0,8), где q - количество произведенного продукта, X и Y - количество ресурсов.

Шаг 2: Запишем затраты на производство

Затраты на производство продукта можно вычислить, умножив количество ресурсов на стоимость каждого ресурса:
C = pX * X + pY * Y

Здесь pX = 6 - цена ресурса X и pY = 12 - цена ресурса Y.

Шаг 3: Найдем лучший план для минимизации затрат

Цель состоит в том, чтобы найти такие значение X и Y, которые минимизируют общие затраты C при заданном количестве продукта q.

Чтобы найти оптимальное значение X и Y, нам необходимо найти минимум функции затрат C при условии, что произведенное количество продукта q равно заданному значению (в данном случае равно 200).

Шаг 4: Решим задачу оптимизации

Для этого нам нужно найти производственные факторы X и Y, которые минимизируют функцию затрат C:

C = pX * X + pY * Y

С учетом производственной функции q = 3X^(0,2)Y^(0,8), мы можем выразить один из факторов через другой, чтобы иметь возможность минимизировать функцию затрат C.

q = 3X^(0,2)Y^(0,8)

Из этого уравнения можно выразить X через Y:

X = (q / (3Y^(0,8)))^(1/0,2)

Подставим это значение X в уравнение для функции затрат C:

C = pX * X + pY * Y
C = 6 * ((q / (3Y^(0,8)))^(1/0,2)) + pY * Y
C = 6 * (q^(1/0,2) / (3^(1/0,2) * Y^(0,8/0,2))) + pY * Y
C = 6 * (q^(5) / (3 * Y^4)) + pY * Y

Теперь мы можем записать функцию затрат С только в терминах переменной Y.

Шаг 5: Найдем оптимальное значение Y

Для того, чтобы найти оптимальное значение Y, мы должны найти производную функции затрат C по Y и приравнять ее к нулю:

dC/dY = 6 * (-20 * q^(5) / (3 * Y^5)) + pY = 0

Решая это уравнение относительно переменной Y, мы найдем оптимальное значение Y.

Шаг 6: Выразим оптимальное значение X

Учитывая, что мы нашли оптимальное значение Y, мы можем использовать производственную функцию q = 3X^(0,2)Y^(0,8), чтобы выразить оптимальное значение X.

X = (q / (3Y^(0,8)))^(1/0,2)

Подставляя оптимальное значение Y в это уравнение, мы найдем оптимальное значение X.

Шаг 7: Подставляем найденные значения X и Y в функцию затрат C

Теперь, когда мы нашли оптимальные значения X и Y, мы можем подставить их в функцию затрат C, чтобы найти минимальное значение.

C = 6 * (q^(5) / (3 * Y^4)) + pY * Y

Подставим оптимальное значение Y и найдем минимальное значение функции C.

Итак, вывела подробное пошаговое решение задачи с обоснованием и пояснениями каждого шага. Если у тебя возникли дополнительные вопросы или что-то не понятно, пожалуйста, задайте их, и я с радостью помогу тебе!