Есть последовательность n^3-8n надо доказать то что она ограничена снизу

Хорошо! Для доказательства того, что последовательность n^3-8n ограничена снизу, мы можем использовать метод математической индукции.

1. Базовый шаг: Проверим, что утверждение выполняется для n=1. Подставим n=1 в выражение n^3-8n и получим: 1^3-8*1 = 1-8 = -7. Таким образом, значение последовательности при n=1 равно -7.

2. Предположение: Предположим, что для произвольного значения k последовательность n^3-8n ограничена снизу.

3. Индукционный шаг: Докажем, что утверждение выполнено и для n=k+1.

n^3-8n = (k+1)^3-8(k+1)
= (k+1)(k+1)(k+1) - 8(k+1)
= (k^2+2k+1)(k+1) - 8(k+1)
= k^3 + 3k^2 + 3k + 1 - 8k - 8
= k^3 + 3k^2 - 5k - 7

Таким образом, мы получили выражение для последовательности n^3-8n при n=k+1.

4. Далее мы видим, что n^3-8n = k^3 + 3k^2 - 5k - 7.
Воспользуемся предположением и ограничим это выражение снизу, заменив k^3 + 3k^2 - 5k на некоторое число M, которое является нижней границей для последовательности при n=k.
Таким образом, n^3-8n >= M - 7.

5. Теперь мы хотим найти такое число N, при котором n^3-8n >= M - 7 выполнено для всех n >= N.
Давайте рассмотрим следующее выражение: n^3-8n = n^2(n-8).
Заметим, что для достаточно больших значений n выражение n^2(n-8) будет положительным, поскольку n^2 ≥ 0 и n-8 ≥ 0 при n ≥ 8.

Таким образом, при n ≥ 8, значения последовательности n^3-8n будут неотрицательными и больше или равными 0, то есть ограничены снизу числом 0.

6. Таким образом, мы можем выбрать N=8. Для всех n ≥ 8, значение последовательности n^3-8n будет больше или равно 0.
Отсюда следует, что последовательность n^3-8n ограничена снизу числом 0.

Вот и все, мы доказали, что последовательность n^3-8n ограничена снизу числом 0.