Есть куча из 1001 камня. одним ходом из какой-нибудь кучи, где лежит больше одного камня, выкидывают один из них, а затем любую кучу делят на две меньшие. можно ли через несколько ходов получить лишь кучи, состоящие из трех камней?

6) В каждой куче 500 камней - мы получаем на первом же шаге.
Из кучи 1001 выкидываем 1, а оставшуюся 1000 делим пополам.
1) В каждой куче по 1 камню - наверное, можно получить.
Когда-то остается куча с 2 камнями, делим ее на две кучи по 1 камню. 
На этом обе эти кучи выбывают из игры, переходим к другим кучам.
7) В каждой куче 600 камней - получить никак нельзя.
Остальные варианты под сомнением. Думаю, что 2) и 3) получить нельзя,
но доказательств нет. Насчет 4) и 5) не уверен, может и можно.

1001-1= 1000
1000:2=500
500:2=250
250:2=125
дальше куча камней не делится , значит получить кучу из 3 камней невозможно