ЕГЭ профильная математика задание 14
В основании прямой призмы АВСА1В1С1 лежит треугольник АВС со сторонами АВ=ВС, АС=4√2. На ребре ВВ1 выбрана точка К так, что ВК:В1К=2:3. Угол между плоскостями АВС и АКС равен 45 °.
а) Докажите, что расстояние между прямыми АВ и А1С1 равно боковому ребру призмы.
б) Найдите растояние между прямыми АВ и А1С1, если КС=8

Пошаговое объяснение:а) Прямые АВ и А₁С₁ - скрещивающиеся, а расстоянием между скрещивающимися прямыми называют расстояние от некоторой точки скрещивающихся прямых (например точки А) к плоскости, проходящей через другую прямую плоскость треугольника АВС), параллельную первой прямой (АС), т.е это есть расстояние между АС и А₁₁С₁.. Оно равно боковому ребру АА₁, ч.т.д.       б) 1)  Обозначим угол между плоскостями АВС и АКС  буквой α =45°. Построим угол α: проведём ВЕ⊥АС и КЕ⊥АС, тогда α= 45°.                        2)  Так как ВК : В₁К=2 : 3, то ВК=2х, В₁К=3х.                                                       3) Рассмотрим ΔВЕК прямоугольный, т.к. =45°, то он равнобедренный,⇒ВК= ВЕ= 2х , ⇒ЕК²= (2х)²+(2х)²= 8х².                          4) ΔАВС по условию равнобедренный, ⇒ АЕ=ЕС= АС/2 = 4√2 : 2= 2√2.Из ΔСЕК -прямоугольного ЕК²= КС² -ЕС² = 8² - (2√2)²= 64 - 8 = 56.      5)  Но ЕК²= 8х², ⇒8х² =56, ⇒ х² = 56 :8 = 7, х=√7                                               6)Тогда искомое расстояние между прямыми АВ и А₁С₁:                           ВВ₁ =2х+3х=5х= 5·√7      Отв:  ВВ₁ =5√7