Двойной интеграл \int \int x^{2}y\,dx\,dy по прямоугольнику2 \le x \le 4 1 \le y \le 2равен:
a. 36
b. 28
c. 14
d. 7

Для решения данной задачи, нам необходимо вычислить двойной интеграл от функции x^2y по заданному прямоугольнику.

Для начала, давайте разобьем данный прямоугольник на интегральную сетку. Зафиксируем шаги сетки по осям x и y.

Поскольку значения x меняются от 2 до 4, и шаг сетки не указан, мы можем предположить, что шаг сетки равен 1, так как 4 - 2 = 2. Таким образом, у нас будет две ячейки сетки по оси x (2 и 3) и значения y будут меняться от 1 до 2.

Теперь, мы можем записать интеграл в виде суммы двух интегралов:

∫(∫(x^2y)dx)dy,

где первый интеграл вычисляется по переменной x, а внешний интеграл вычисляется по переменной y.

Для вычисления первого интеграла, ∫(x^2y)dx, можно считать y постоянным и применить формулу для интегрирования по x от x_min до x_max (где x_min = 2, x_max = 3):

∫(x^2y)dx = y*(∫(x^2)dx) = y*(x^3/3),

где константу интегрирования можно опустить, так как это прямоугольник, а не неопределенный интеграл.

Теперь подставим выражение ∫(x^2y)dx = y*(x^3/3) во внешний интеграл:

∫(∫(x^2y)dx)dy = ∫(y*(x^3/3))dy.

Для вычисления внешнего интеграла, ∫(y*(x^3/3))dy, можно считать x постоянным и применить формулу для интегрирования по y от y_min до y_max (где y_min = 1, y_max = 2):

∫(y*(x^3/3))dy = (x^3/3)*(∫y dy) = (x^3/3)*(y^2/2).

Теперь подставим выражение (x^3/3)*(y^2/2) во внешний интеграл:

∫(∫(x^2y)dx)dy = ∫((x^3/3)*(y^2/2))dy.

Вычислим этот интеграл от y_min до y_max:

∫((x^3/3)*(y^2/2))dy = (x^3/3)*(1/2)*(y^3/3) ограничивая y от 1 до 2.

Теперь подставим значения верхнего и нижнего пределов интегрирования и получим окончательное выражение:

(x^3/3)*(1/2)*(y^3/3) от 1 до 2 = (x^3/3)*(1/2)*((2^3/3) - (1^3/3)) = (x^3/3)*(1/2)*(8/3 - 1/3) = (x^3/3)*(1/2)*(7/3) = (7/18)*(x^3).

Теперь, нужно проинтегрировать последнее выражение по переменной x от x_min до x_max (где x_min = 2, x_max = 3):

(7/18)*(x^3) от 2 до 3 = (7/18)*((3^3) - (2^3)) = (7/18)*(27 - 8) = (7/18)*(19) = 133/18.

Таким образом, двойной интеграл от функции x^2y по заданному прямоугольнику равен 133/18.

Ответ: нет варианта ответа среди предложенных вариантов ответа.