Две стороны параллелограмма равны 3 см и 4 корень 2см, а угол между ними — 135°. Найдите: 1) мЕньшую диагональ параллелограмма; 2) площадь параллелограмма.

Добрый день! Конечно, я помогу с решением данной задачи.

Дано, что две стороны параллелограмма равны 3 см и 4√2 см, а угол между ними - 135°. Наша задача найти меньшую диагональ параллелограмма и его площадь.

Шаг 1: Найдем третью сторону параллелограмма, используя теорему косинусов.
Мы можем применить теорему косинусов, чтобы найти третью сторону параллелограмма. Обозначим третью сторону как c.
Итак, с^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cos(угол), где a и b - известные стороны параллелограмма, угол - известный угол между этими сторонами.
Подставим значения, получим: c^2 = (3 см)^2 + (4√2 см)^2 - 2 * (3 см) * (4√2 см) * cos(135°).

Упростим это выражение:
c^2 = 9 см^2 + 16 * 2 см^2 - 24√2 см^2 * cos(135°).
c^2 = 9 см^2 + 32 см^2 - 24√2 см^2 * (-√2/2) # cos(135°) = -√2/2.
c^2 = 9 см^2 + 32 см^2 + 12√2 см^2.
c^2 = 41 см^2 + 12√2 см^2.
c^2 = 41 см^2 + 12√2 см^2 = (41 + 12√2) см^2.

Мы нашли значение c^2. Чтобы найти c, нужно извлечь квадратный корень.
c = √(41 + 12√2) см.

Шаг 2: Найдем меньшую диагональ параллелограмма.
Диагонали параллелограмма делят его на 4 треугольника, по два треугольника равным по площади.
Мы уже нашли третью сторону c. Пусть c - меньшая диагональ параллелограмма. Тогда другая диагональ будет равна 2 * (4√2 см) - c = 8√2 см - √(41 + 12√2) см.

Шаг 3: Найдем площадь параллелограмма.
Площадь параллелограмма равна произведению длины его боковой стороны на высоту. Выберем 3 см как боковую сторону. Тогда высота равна: h = sin(угол) * c = sin(135°) * √(41 + 12√2) см.

Угол 135° можно представить как сумму 90° и 45°, и тогда воспользоваться свойствами синуса:

sin(135°) = sin(90° + 45°) = sin(90°) * cos(45°) + cos(90°) * sin(45°).

sin(90°) = 1 и cos(90°) = 0.
sin(45°) = cos(45°) = √2/2.

Подставим значения:
sin(135°) = 1 * (√2/2) + 0 * (√2/2) = √2/2.

Теперь мы можем найти высоту:
h = (√2/2) * √(41 + 12√2) см.

Теперь можем найти площадь:
S = 3 см * (√2/2) * √(41 + 12√2) см = (3√2/2) * √(41 + 12√2) см^2.

S ≈ 6,363 см^2.

Итак, мы нашли меньшую диагональ параллелограмма - √(41 + 12√2) см и его площадь - ≈ 6,363 см^2.