Две параболы y=2x^2+ax+b и y=-5x^2+cx+d касаются в точке, лежащей на оси ox. через точку d – вторую точку пересечения первой параболы с осью ox – проведена вертикальная прямая, пересекающая вторую параболу в точке a, а общую касательную к параболам – в точке b. найдите отношение da: db.
хо и хD
2x2o+axo +b=0
2х2D+axD+b=0
вычтем
2(x2o–x2D)+а·(xo–xD)=0
((xo–xD)·(2xo+2xD+а)=0
xo–xD≠0, точки по условию различны.
Значит
2xo+2xD+а=0
(xo+xD)=–a/2 (# 1)
точка касания расположена на оси Ox, значит (xo;0)
Составим уравнение касательной к параболе у=2x2+ax+b.
f(x)=2x2+ax+b
f(xo)=0,
f`(x)=4x+a
f`(xo)=4xo+a
y–0=(4хо+a)·(x–xo) – уравнение касательной к первой параболе.
Составим уравнение касательной к параболе у=2x2+ax+b.
f(x)=–5x2+сx+d
f(xo)=0,
f`(x)=–10x+c
f`(xo)=–10xo+c
y–0=(–10хо+c)·(x–xo) – уравнение касательной ко второй параболе.
Касательная общая, значит
4хо+a=–10хо+c ( угловые коэффициенты равны)
14xo + a – c =0
xo=(c–a)/14 ( # 2)
У точек А;В и D – одинаковые абсциссы.
Найдем ординаты.
Точка А лежит на второй параболе
Точка В на касательной
А(xD;–5x2D+cxD+d)
В(хD;(4хо+a)(xD–xo)
D(хD; 0)
|AD|=|–5x2D+cxD+d|
–5x2o+сxo +d=0
d=5x2o–сxo
|AD|=|–5x2D+cxD+5x2o–сxo|=
=|xo–xD|·|5xo+5xD–c|
|ВD|=|xo–xD|·|4xo+a|
|DА|:|DВ|=|5xo+5xD–c|/|4xo+a|
так как
(xo+xD)=–a/2 ( # 1)
xo=(c–a)/14 ( # 2)
|DА|:|DВ|=|5xo+5xD–c|/|4xo+a|=
=|5·(–a/2)–c|/|(4·(c–a)/14)+a|=
=|(–5a–2c)/2|/|(2c+5a)/7|=7/2
ответ:7/2