Доведіть, що числа від 1 до 16 можна записати в рядок, але не можна записати по колу так, щоб сума будь-яких двох сусідніх чисел була квадратом натурального числа.

Покрокове пояснення:

Найменша сума двох чисел із заданих: 1 + 2 = 3

Найбільша сума двох чисел із заданих: 15 + 16 = 31

Серед сум від 3 до 31 точними квадратами є такі числа: 4, 9, 16 і 25.

Спробуємо розташувати числа по колу. Тоді зліва і справа від числа 16 мають стояти такі два числа Х та Y, що (16+Х) є квадратом якогось числа, а (16+Y) також є квадратом якогось іншого числа. Обидва ці квадрати мають бути більше 16 і менше 31. Це неможливо, тому що між 16 і 31 є тільки один квадрат: 25. Отже, по колу числа розставити неможливо.

Розставити числа в ряд можливо. Почнемо з 16, тому що ми щойно вияснили, що воно може мати лише одного сусіда, а отже має стояти на початку або в кінці ряду.

Другим числом буде 9: 16 + 9 = 25

Третім числом може бути 7 або 16 (9+7=16; 9+16 = 25). Але 16 вже використано, значить третє число 7.

Четверте число може бути 2 або 9 (7+2+9; 7+9=16). Але 9 вже використано, значить четверте число 2.

Аналогічно отримаємо решту чисел ряду: 16, 9, 7, 2, 14, 11, 5, 4, 12, 13, 3, 6, 10, 15, 1, 8

Також розв'язком буде цей ряд чисел в зворотньому порядку.