Дослідіть функцію і побудуйте її графік: f(x)=8x^3-3x^4.

!

Відповідь:

Для дослідження функції f(x) = 8x^3 - 3x^4, спочатку визначимо її основні властивості та побудуємо графік.

Область визначення:

Функція f(x) визначена для будь-якого дійсного значення x.

Симетрія:

Функція f(x) є поліноміальною функцією, тому вона не має симетрії щодо осей координат.

Похідна:

Знайдемо похідну функції f(x):

f'(x) = 24x^2 - 12x^3.

Точки екстремуму:

Щоб знайти точки екстремуму, розв'яжемо рівняння f'(x) = 0:

24x^2 - 12x^3 = 0.

Факторизуємо вираз:

12x^2(2 - x) = 0.

Отримаємо дві можливі точки екстремуму: x = 0 та x = 2.

Ведення:

Дослідимо ведення функції за до інтервальної нотації та значень похідної:

a) Для x < 0: f'(x) < 0, тому функція спадає на цьому інтервалі.

b) Для 0 < x < 2: f'(x) > 0, тому функція зростає на цьому інтервалі.

c) Для x > 2: f'(x) < 0, тому функція спадає на цьому інтервалі.

Поведінка на кінцях:

Ліміт f(x) при x -> ±∞ буде дорівнювати -∞, оскільки старший член -3x^4 переважає над 8x^3.

Отже, ми знаємо основні властивості функції f(x) = 8x^3 - 3x^4. Зараз побудуємо її графік:

(Будується графік функції f(x) = 8x^3 - 3x^4)