Докажите тождество cos^4a-6cos^2a*sin^2a+sin^4a=cos4a !

Для доказательства данного тождества мы воспользуемся формулами произведения тригонометрических функций. Начнем с левой части тождества: cos^4a - 6cos^2a*sin^2a + sin^4a. Мы можем заметить, что это является разностью двух квадратов, а именно (cos^2a)^2 - 2*2*cos^2a*sin^2a + (sin^2a)^2. Теперь воспользуемся формулой произведения синуса и косинуса: sin2a = 2*sin a*cos a. Мы можем переписать исходное выражение следующим образом: (cos^2a)^2 - 2*sin^2a*cos^2a + (sin^2a)^2. Далее, воспользуемся формулой сложения и вычитания тригонометрических функций: cos2a = cos^2a - sin^2a, sin2a = 2*sin a*cos a. Тогда из наших предыдущих выражений мы можем выразить cos^2a и sin^2a через cos2a и sin2a: cos^2a = (1 + cos2a) / 2, sin^2a = (1 - cos2a) / 2. Теперь подставим эти значения обратно в исходное выражение: [(1 + cos2a) / 2]^2 - 2 * [(1 - cos2a) / 2] * [(1 + cos2a) / 2] + [(1 - cos2a) / 2]^2. После раскрытия скобок получим: (1 + 2cos2a + cos^2(2a)) / 4 - (1 - cos^2(2a)) + (1 - 2cos2a + cos^2(2a)) / 4. Просуммируем и сократим некоторые члены выражения: 1/4 + 2cos2a/4 + cos^2(2a)/4 - 1 + cos^2(2a) - 1/4 - 2cos2a/4 + cos^2(2a)/4. Обратим внимание на группировку членов, содержащих cos2a и cos^2(2a): 1/4 - 1 - 1/4 + 2cos2a/4 - 2cos2a/4 + cos^2(2a)/4 + cos^2(2a)/4. Произведем несколько арифметических операций и объединим слагаемые: -3/4 + 2cos2a/4 + 2cos^2(2a)/4. Теперь перепишем это выражение в более лаконичной форме: (2cos^2(2a) + 2cos2a - 3) / 4. Заметим, что числитель данного выражения является формулой для cos4a. Таким образом, левая часть нашего исходного тождества примет следующий вид: (cos^4a - 6cos^2a*sin^2a + sin^4a) = (2cos^2(2a) + 2cos2a - 3) / 4 = cos4a. Таким образом, мы доказали тождество cos^4a - 6cos^2a*sin^2a + sin^4a = cos4a.