1. Математика
  2. Докажите тождества Cn^1+2Cn^2+…+nCn^n=2^n-1

Докажите тождества
Cn^1+2Cn^2+…+nCn^n=2^n-1

Cr4zyvlad Cr4zyvlad    1   29.06.2020 21:28    6

Ответы
Malishka9209 Malishka9209  30.08.2020 12:55

Тождество неверное. Скорее уж будет так

C^1_n+2C_n^2+...+nC^n_n=n\cdot 2^{n-1}

C^1_n+2C^2_n+...+nC^n_n=\sum^{n}_{k=1}k\cdot C^k_n

Пользуясь свойством \sum^{n}_{k=0}k\cdot C^k_n=n\cdot 2^{n-1}, мы имеем

\sum^n_{k=1}k\cdot C^k_n=n\cdot 2^{n-1}

Можно доказать без всяких свойств чисел сочетаний. По формуле бинома Ньютона n\cdot 2^{n-1}=n\cdot (1+1)^{n-1}=n\cdot \sum^{n-1}_{p=0}C^p_{n-1}. В свою очередь при любом p выполняется равенство:

n\cdot C^p_{n-1}=\frac{n(n-1)}{p!(n-1-p)!}\cdot \frac{p+1}{p+1}=\frac{n!(p+1)}{(p+1)![n-(p+1)]!}=(p+1)C^{p+1}_n

Следовательно, n\cdot 2^{n-1}=\sum^{n-1}_{p=0}(p+1)C^{n+1}_n. Преобразим индекс суммирования, положив p+1=k. Имеем:

\sum^{n-1}_{p=0}(p+1)C^{p+1}_n=\sum^{n}_{k=1}kC^k_n

ПОКАЗАТЬ ОТВЕТЫ
Другие вопросы по теме Математика
Монтер111 Монтер111  18.08.2020 20:52
В тарелку положили 14 орехов, а в блюдце на 5 орехов меньше Потом добавили несколько орехов В тарелку Теперь стало 32 ореха в тарелке и блюдце Сколько орехов добавили...
swordfishtrombone swordfishtrombone  18.08.2020 20:43
Что тут надо делать ДэВа4Ки​ ответе...
Альбина2112 Альбина2112  18.08.2020 20:23
Слесарь и его ученик изготовили 196 деталей.Слесарь работает в 3 раза быстрее ученика. Сколько деталей изготовил каждый из них?...
nikitinallllll nikitinallllll  18.08.2020 20:18
1/5учнів школи навчаються в позакласний час у музичній школі; 70 % — у спортивних секціях, решта в — танцювальних гуртках. Побудуйте: а) кругову; стовпчасту діаграми....
Варвара75639 Варвара75639  18.08.2020 20:10
890. 5 кішкене қорапша және 2 үлкен қорапша кәмпит 1,65 кг. Үлкен қорапша кәмпит кішкене қорапша кәмпиттен 3 есе ауыр.Кішкене қорапша кәмпит неше грамм?​...
ivankisa12 ivankisa12  18.08.2020 20:08
Скільки коштує 1 кг печива якщо за 5 5/6 кг заплатили 14 грн...
He12022005 He12022005  18.08.2020 20:06
решить задачу.R=3cmV-?S-?​...
kitikdasa33 kitikdasa33  17.08.2020 20:40
На сторонах AB і BC трикутника ABC, площа якого дорівнює 360 см2, а радіус вписаного кола — 8 см, позначено точки D і E відповідно, AD:DB=CE:EB=3:7. 1. Знайдіть...
kalishevij99 kalishevij99  17.08.2020 20:39
Найдите сумму самого большого и самого маленького числа, с решением...
Wishnewski Wishnewski  18.08.2020 20:33
Вы едете со скоростью 150км/ч, перед вами едут 2 фуры со скоростью 100км/ч, эти 2 фуры вместе составляют 30 метров, за сколько секунд вы обгоните эти фуры...

Популярные вопросы