Докажите, что уравнение xy=2006 (x+y) имеет решения в целых числах.

Допустим 1003 число простое. Пусть x = 1003. Тогда 1003y = 2 * 1003 (1003 + y). Перепишем: 2 * 1003 * 1003 + 2*1003y - 1003y = 0, или: 2 * 1003 * 1003 + 1003y = 1003 ( 2 * 1003 + y) = 0. Значит y = -2006.
Проверим: 1003 * -2006 = 2006 (1003 - 2006).
Получается - 2006 * 1003 = - 2006 * 1003. Всё верно.