Докажите, что уравнение x^2-3y^2=2 не имеет решений в целых числах.

Пошаговое объяснение:

при х = 0 уравнение не имеет решений , при y =0 уравнение не

имеет  решений в целых числах ,  пусть х ≠ 0  и y ≠ 0

так  как переменные х и y  входят в уравнении в квадратах , то

достаточно доказать , что уравнение не имеет решений в

натуральных  числах , так как если есть целые отрицательные

решения , то  натуральные решения , полученные с

изменения знака  этих  чисел будут  также решениями

пусть х∈ N  и y ∈ N

x² -3y² = 2 ⇒ x² = 3y² + 2 ⇒

x² при делении на 3 дает остаток 2  ( 1 )

x не делится на 3 (  так как в противном случае х² делится на

3 ) ⇒  остаток при делении на 3 числа х равен  1  или 2

1) пусть х = 3k+1  ,  тогда х²= 9k²+6k +1  = 3(3k²+2) + 1 ⇒ остаток

при  делении х² на 3 равен 1  , но это противоречит условию (1 )

2) пусть х = 3к+2 ⇒ х² = 9к² + 12к +4 = 9к² + 12к + 3 +1 =

3(3к²+4к+1) + 1 ⇒  остаток при делении х² на 3 равен 1  , но это

противоречит условию (1 )

⇒ уравнение не имеет решений в целых числах