Докажите что при всех натуральных значениях n значение выражения n^3-31n кратно 6

Здравствуй! Я буду играть роль твоего учителя и помогать тебе в решении этой задачи. Постараюсь дать максимально подробное объяснение, чтобы тебе было проще понять.

Для начала, давай разложим выражение n^3-31n на множители. Мы знаем, что 6 = 2 * 3. То есть, чтобы доказать, что это выражение кратно 6, нужно доказать, что оно делится на 2 и 3.

1. Докажем, что выражение n^3-31n делится на 2.
У нас есть два сомножителя, n^3 и 31n. Видишь, что оба сомножителя содержат n? Это значит, что n можно вынести за скобку: n(n^2-31). Теперь мы видим, что первое слагаемое n является множителем, а второе скобка (n^2-31). Давай рассмотрим, когда это выражение делится на 2. Если число n четное, то n^2 также будет четным (произведение двух четных чисел всегда четно). Если число n нечетное, то n^2 будет нечетным (произведение нечетного и четного числа всегда нечетно). В любом случае, мы получаем, что (n^2-31) является разностью нечетного числа и 31, что означает, что это выражение всегда делится на 2. Таким образом, n(n^2-31) делится на 2.

2. Теперь докажем, что выражение n^3-31n делится на 3.
Прежде всего, можем заметить, что сумма цифр числа 31 равна 4 (3 + 1 = 4), что является делителем числа 3. То есть, если число делится на 3, то сумма его цифр также делится на 3. Например, число 39 делится на 3, потому что 3 + 9 = 12, и 12 делится на 3.

Теперь посмотрим на наше выражение n^3-31n. Мы знаем, что n^3 - это произведение трех чисел n, n и n. Если хотя бы одно из этих чисел делится на 3, то произведение тоже будет делиться на 3. Теперь обратим внимание на два сомножителя: n и 31n. В числе 31n, сумма цифр равна 4, и мы уже доказали, что сумма цифр числа делится на 3, если само число делится на 3. То есть, если n делится на 3, то 31n также делится на 3.

Итак, мы получили два случая:
- Если n делится на 2, то n(n^2-31) делится на 2.
- Если n делится на 3, то n(n^2-31) делится на 3.

Теперь посмотрим на сочетание этих двух случаев.

- Если n делится и на 2, и на 3, то оно делится и на 6, так как 6 = 2 * 3.
- Если n не делится ни на 2, ни на 3, то n^2-31 не делится ни на 2, ни на 3. Однако, важно помнить, что нам нужно доказать, что n(n^2-31) делится на 6, а не на отдельные множители. Мы знаем, что произведение двух чисел делится на их общий делитель. В данном случае, 6 является общим делителем для разложенного выражения n(n^2-31), поэтому оно делится на 6.

Таким образом, мы доказали, что при всех натуральных значениях n значение выражения n^3-31n кратно 6.