Докажите что при любом натуральном n число n(2n^2 + 1) кратно 3

Если n кратно 3, то это выражение кратно трём.
Если n не кратно 3, то чтобы это выражение должно было кратно 3, надо чтобы (2n²+1) было кратно 3. При деление на 3 n² даёт остаток 1(при n не кратном 3). Значит, 2n² даёт остаток 2. А если ещё прибавить единицу, то 2n²+1 будет делится на 3.
Что и требовалось доказать.

Доказательство методом математической индукции