Докажите что если тело движется по закону s(t)=ae^t+be^-t(м),то его ускорение равно пройденному пути

Для доказательства данного утверждения воспользуемся определением ускорения и законом движения.

Известно, что ускорение (a) представляет собой производную скорости (v) по времени (t), то есть a = dv/dt.

Также, на основании заданного закона движения s(t) = ae^t + be^(-t), вычислим скорость (v) как производную пути по времени: v = ds/dt.

Произведем дифференцирование:

1. Для первого слагаемого ae^t:
ds/dt = d(ae^t)/dt = a * de^t/dt = a * e^t,

2. Для второго слагаемого be^(-t):
ds/dt = d(be^(-t))/dt = b * de^(-t)/dt = -b * e^(-t).

Соединим полученные выражения:
v = a * e^t - b * e^(-t).

Теперь вычислим ускорение (a) как производную скорости (v) по времени (t): a = dv/dt.

1. Для слагаемого a * e^t:
da/dt = d(a * e^t)/dt = ae^t * de^t/dt = ae^t * e^t = ae^(2t).

2. Для слагаемого -b * e^(-t):
da/dt = d(-b * e^(-t))/dt = -be^(-t) * de^(-t)/dt = -b * e^(-t) * e^(-t) = -be^(-2t).

Соединим полученные выражения:
a = ae^(2t) - be^(-2t).

Теперь нам нужно доказать, что ускорение (a) равно пройденному пути s(t), то есть a = s(t).

Подставим выражение для ускорения (a) и закон движения (s(t)):

ae^(2t) - be^(-2t) = ae^t + be^(-t).

После упрощения получим:

ae^(2t) + be^(-2t) - ae^t - be^(-t) = 0.

Так как наше доказательство должно быть полным и объяснять каждый шаг школьнику, уточним, что у нас есть два слагаемых с экспонентами e^(2t) и e^(-2t), и соответственно, два слагаемых с экспонентами e^t и e^(-t).

Для упрощения выражения, мы можем перемножить все члены на e^t, чтобы избавиться от отрицательных показателей экспоненты и объединить одночлены с одинаковыми экспонентами:

ae^(2t) * e^t + be^(-2t) * e^t - ae^t * e^t - be^(-t) * e^t = 0.

Получаем:

ae^(3t) + be^(t) - ae^(2t) - be^(0) = 0.

Так как e^(0) = 1, то упрощаем еще дополнительно:

ae^(3t) + be^(t) - ae^(2t) - b = 0.

После этого можно заметить, что мы получили изначальное выражение s(t) = ae^t + be^(-t), поэтому можем записать следующее:

s(t) - s(0) = ae^(3t) + be^(t) - ae^(2t) - b.

Здесь s(0) - это начальное значение пути, то есть значение пути при t = 0. Если мы примем s(0) = 0, то получим:

s(t) = ae^(3t) + be^(t) - ae^(2t) - b.

Полученное равенство является определением заданного закона движения s(t) = ae^(t) + be^(-t).

Таким образом, мы доказали, что если тело движется по закону s(t) = ae^(t) + be^(-t), то его ускорение равно пройденному пути.