Докажите, что если числа 1/(b+c), 1/(a+c), 1/(a+b) являются тремя последовательными членами арифмитической

Question

Математика: Докажите, что если числа 1/(b+c), 1/(a+c), 1/(a+b) являются тремя последовательными членами арифмитической прогрессии, то числа a^2, b^2, c^2 также являются тремя последовательными членами арифмитической прогресии.

разетка1234 · Answer

Из свойства арифметической прогрессии следует:
$\frac{1}{a+c}= \frac{1}{2}( \frac{1}{b+c}+ \frac{1}{a+b})$
отсюда:
$2(b+c)(a+b)=(a+c)(a+b)+(a+c)(b+c)
\\2b^2+2ab+2ac+2bc=a^2+ac+ab+bc+ab+bc+ac+c^2
\\2b^2+2ab+2ac+2bc=a^2+c^2+2ab+2ac+2bc
\\2b^2=a^2+c^2
\\b^2= \frac{a^2+c^2}{2}$
В силу характеристического свойства арифметической прогрессии полученное равенство означает, что числа $a^2,\ b^2,\ c^2$ являются последовательными членами арифметической прогрессии

Популярные вопросы